1.「2025云南昆明寻甸月考」下列关于x的方程一定有两个实数根的是 (
A. $k^{2}x^{2}-4x-4= 0$
B. $x^{2}-4x+5= 0$
C. $x^{2}-4x+k= 0$
D. $(k^{2}+1)x^{2}= 0$
D
)A. $k^{2}x^{2}-4x-4= 0$
B. $x^{2}-4x+5= 0$
C. $x^{2}-4x+k= 0$
D. $(k^{2}+1)x^{2}= 0$
答案：D A. 当$k=0$时，原方程为$-4x - 4 = 0$，有实数根$x = -1$；当$k \neq 0$时，$\Delta = 16 + 16k^{2} ＞ 0$，一元二次方程有两个不相等的实数根，故原方程不一定有两个实数根，不符合题意。B. $\Delta = 16 - 4 \times 5 = -4 ＜ 0$，没有实数根，不符合题意。C. $\Delta = 16 - 4k$，当$16 - 4k ＜ 0$时，没有实数根，不符合题意。D. $\Delta = 0$，有两个相等的实数根，符合题意。故选D。
2.「2025河北石家庄期中」在平面直角坐标系中,若一次函数$y= -2x+m$的图象如图所示,则关于x的方程$mx^{2}+x+2= 0$的根的情况是 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案：A 由题中图象可得$m ＜ 0$，$\because mx^{2} + x + 2 = 0$，$\therefore \Delta = 1^{2} - 4m \times 2 = 1 - 8m ＞ 0$，$\therefore$方程$mx^{2} + x + 2 = 0$有两个不相等的实数根。故选A。
3.「2024甘肃兰州中考」关于x的一元二次方程$9x^{2}-6x+c= 0$有两个相等的实数根,则$c= $ (
A.-9
B.4
C.-1
D.1
D
)A.-9
B.4
C.-1
D.1
答案：D $\because$关于$x$的一元二次方程$9x^{2} - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = (-6)^{2} - 4 \times 9 \times c = 0$，解得$c = 1$。故选D。
4.「2024黑龙江龙东地区中考」关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则m的取值范围是 (
A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4且m≠2$
D. $m≤4且m≠2$
D
)A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4且m≠2$
D. $m≤4且m≠2$
答案：D 根据题意，得$\begin{cases}16 - 4(m - 2) \times 2 \geq 0, \\ m - 2 \neq 0,\end{cases}$解得$m \leq 4$且$m \neq 2$。故选D。
5.若恰好只有一个实数a是方程$(k^{2}-9)x^{2}-2(k+1)x+1= 0$的根,则k的值为
±3或-5
.答案：答案 $\pm 3$或$-5$
解析 ①当原方程是一元一次方程时，方程只有一个实数根，则$k^{2} - 9 = 0$，解得$k = \pm 3$，此时$-2(k + 1) \neq 0$，满足条件；
②当原方程是一元二次方程时，方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$，
即$4(k + 1)^{2} - 4(k^{2} - 9) = 0$，解得$k = -5$。
综上，$k$的值为$\pm 3$或$-5$。
解析 ①当原方程是一元一次方程时，方程只有一个实数根，则$k^{2} - 9 = 0$，解得$k = \pm 3$，此时$-2(k + 1) \neq 0$，满足条件；
②当原方程是一元二次方程时，方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$，
即$4(k + 1)^{2} - 4(k^{2} - 9) = 0$，解得$k = -5$。
综上，$k$的值为$\pm 3$或$-5$。
6.「2025江西新余渝水月考」已知关于x的一元二次方程$x^{2}-5x+6-p^{2}= 0$,求证:无论p取何值,方程总有两个不相等的实数根.
答案：证明 $\because x^{2} - 5x + 6 - p^{2} = 0$，$\therefore a = 1$，$b = -5$，$c = 6 - p^{2}$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4(6 - p^{2}) = 25 - 24 + 4p^{2} = 4p^{2} + 1$，
$\because p^{2} \geq 0$，$\therefore 4p^{2} + 1 \geq 1$，$\therefore \Delta ＞ 0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4(6 - p^{2}) = 25 - 24 + 4p^{2} = 4p^{2} + 1$，
$\because p^{2} \geq 0$，$\therefore 4p^{2} + 1 \geq 1$，$\therefore \Delta ＞ 0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
7.「2025江苏连云港灌云期中」关于x的方程$2x^{2}+(m+2)x+m= 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)请取一个合适的m值,并求此时方程的根.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)请取一个合适的m值,并求此时方程的根.
答案：解析 (1) 证明：$\because 2x^{2} + (m + 2)x + m = 0$，
$\therefore a = 2$，$b = m + 2$，$c = m$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (m + 2)^{2} - 8m = (m - 2)^{2} \geq 0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(2) (答案不唯一) 取$m = -2$，则方程变为$2x^{2} - 2 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$，
$\therefore$当$m = -2$时，方程的两根为$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$。
$\therefore a = 2$，$b = m + 2$，$c = m$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (m + 2)^{2} - 8m = (m - 2)^{2} \geq 0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(2) (答案不唯一) 取$m = -2$，则方程变为$2x^{2} - 2 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$，
$\therefore$当$m = -2$时，方程的两根为$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$。
8.「2025山东青岛崂山月考」已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的两个实数根,等腰$\triangle ABC$的一边长为7,若$x_{1},x_{2}恰好是\triangle ABC$另外两边长,则$\triangle ABC$的周长为 (
A.13
B.17
C.29
D.17或29
B
)A.13
B.17
C.29
D.17或29
答案：B 若等腰$\triangle ABC$的底边长为7，则$\Delta = [-2(m + 1)]^{2} - 4(m^{2} + 5) = 8m - 16 = 0$，解得$m = 2$，$\therefore$原方程为$x^{2} - 6x + 9 = 0$，解得$x_{1} = x_{2} = 3$，$\because 3 + 3 = 6 ＜ 7$，$\therefore$舍去。若等腰$\triangle ABC$的腰长为7，把$x = 7$代入方程$x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 5 = 0$，得$49 - 14(m + 1) + m^{2} + 5 = 0$，解得$m_{1} = 4$，$m_{2} = 10$，若$m = 4$，则原方程为$x^{2} - 10x + 21 = 0$，解得$x_{1} = 7$，$x_{2} = 3$，$\because 3 + 7 = 10 ＞ 7$，$\therefore$符合题意；若$m = 10$，则原方程为$x^{2} - 22x + 105 = 0$，解得$x_{1} = 7$，$x_{2} = 15$，$\because 7 + 7 = 14 ＜ 15$，$\therefore$舍去。综上，满足条件的$\triangle ABC$的周长为$7 + 7 + 3 = 17$，故选B。
9.已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(c-a)= 0$,其中2a,2b分别为$//ogram ABCD$的对角线AC,BD的长,c为边AB的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)如果四边形ABCD为正方形,试求这个一元二次方程的根.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)如果四边形ABCD为正方形,试求这个一元二次方程的根.
答案：解析 (1) 四边形$ABCD$是菱形。理由如下：
$\because$一元二次方程$(a + c)x^{2} + 2bx + (c - a) = 0$有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 0$，
化简，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
$\because 2a$，$2b$分别为$\square ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长，$\therefore \square ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相垂直。
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形。
(2) $\because$四边形$ABCD$为正方形，$2a$，$2b$分别为$\square ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长，
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}c$，$c = \sqrt{2}b$。
$\therefore \Delta = (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 4(b^{2} + a^{2} - c^{2}) = 0$。
$\therefore x = \frac{-2b}{2(a + c)} = \frac{-b}{b + \sqrt{2}b} = 1 - \sqrt{2}$。
即这个一元二次方程的根是$x_{1} = x_{2} = 1 - \sqrt{2}$。
$\because$一元二次方程$(a + c)x^{2} + 2bx + (c - a) = 0$有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 0$，
化简，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
$\because 2a$，$2b$分别为$\square ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长，$\therefore \square ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相垂直。
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形。
(2) $\because$四边形$ABCD$为正方形，$2a$，$2b$分别为$\square ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长，
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}c$，$c = \sqrt{2}b$。
$\therefore \Delta = (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 4(b^{2} + a^{2} - c^{2}) = 0$。
$\therefore x = \frac{-2b}{2(a + c)} = \frac{-b}{b + \sqrt{2}b} = 1 - \sqrt{2}$。
即这个一元二次方程的根是$x_{1} = x_{2} = 1 - \sqrt{2}$。