1.「2024天津滨海新区期中」已知$\odot O$的半径是4 cm,点A、B、C与圆心O的距离分别为4 cm、3 cm、5 cm,则点A在
圆上
,点B在圆内
,点C在圆外
.答案：答案 圆上;圆内;圆外
解析 ∵⊙O的半径是4cm，点A、B、C与圆心O的距离分别为4cm、3cm、5cm，∴点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外
解析 ∵⊙O的半径是4cm，点A、B、C与圆心O的距离分别为4cm、3cm、5cm，∴点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外
2.「2024上海杨浦期末」如图,矩形ABCD中,AB= 8,AD= 6,以A为圆心,r为半径作$\odot A$,使得点D在圆内,点C在圆外,则半径r的取值范围是____.
答案：
答案 6＜r＜10
解析 如图，连接AC，在矩形ABCD中，AB = CD = 8，AD = 6，∴AC = 10。∵以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，∴半径r的取值范围是6＜r＜10。
答案 6＜r＜10
解析 如图，连接AC，在矩形ABCD中，AB = CD = 8，AD = 6，∴AC = 10。∵以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，∴半径r的取值范围是6＜r＜10。
3.「2025山东滨州期末」在同一平面内,过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.0或1
D
)A.0
B.1
C.2
D.0或1
答案：D 当A、B、C三个点共线时，过A、B、C三个点不能作圆；当A、B、C三个点不在同一条直线上时，过A、B、C三个点的圆有且只有一个。故选D。
4.「2025江苏镇江丹阳期中」如图,在平面直角坐标系中,A(1,6)、B(5,6)、C(7,4).
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为____.
(2)这个圆的半径为____.
(3)点D(5,-3)在$\odot M$____.(填“内”“外”或“上”)
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为____.
(2)这个圆的半径为____.
(3)点D(5,-3)在$\odot M$____.(填“内”“外”或“上”)
答案：
解析 (1)(3,2)。
提示：作线段AB、BC的垂直平分线，垂直平分线的交点即为点M。
(2) $2\sqrt{5}$。
提示：∵M(3,2)，∴MA = $\sqrt{(1 - 3)^2 + (6 - 2)^2} = 2\sqrt{5}$。即该圆的半径为 $2\sqrt{5}$。
(3) 外。
提示：∵D(5,-3)，M(3,2)，∴MD = $\sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{29} ＞ 2\sqrt{5}$，∴点D(5,-3)在⊙M 外。
解析 (1)(3,2)。
提示：作线段AB、BC的垂直平分线，垂直平分线的交点即为点M。
(2) $2\sqrt{5}$。
提示：∵M(3,2)，∴MA = $\sqrt{(1 - 3)^2 + (6 - 2)^2} = 2\sqrt{5}$。即该圆的半径为 $2\sqrt{5}$。
(3) 外。
提示：∵D(5,-3)，M(3,2)，∴MD = $\sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{29} ＞ 2\sqrt{5}$，∴点D(5,-3)在⊙M 外。
5.下列关于三角形外心的说法中,错误的是(
A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.任何一个三角形有且只有一个外接圆
C
)A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.任何一个三角形有且只有一个外接圆
答案：C 当等腰三角形是钝角三角形时，外心在三角形外部，故C选项错误，故选C。
6.「2024吉林长春宽城期末」如图,$\triangle ABC内接于\odot O$.若$\odot O$的半径为3,$\angle C= 45^{\circ}$,则弦AB的长为____.
答案：
答案 $3\sqrt{2}$
解析 如图，连接OA，OB，∵∠ACB = 45°，∴∠AOB = 2∠ACB = 90°，∵OA = OB = 3，∴AB = $\sqrt{OA^2 + OB^2} = 3\sqrt{2}$。
答案 $3\sqrt{2}$
解析 如图，连接OA，OB，∵∠ACB = 45°，∴∠AOB = 2∠ACB = 90°，∵OA = OB = 3，∴AB = $\sqrt{OA^2 + OB^2} = 3\sqrt{2}$。
7.用反证法证明时,假设“点在圆内或圆外”,经过推理得出矛盾,则点和圆的位置关系是(
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
B
)A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
答案：B 假设“点在圆内或圆外”，经过推理得出矛盾，即假设不成立，则点在圆上。故选B。
8.「2024山东烟台龙口一模,★☆」如图,在正方形方格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点P是下列哪个三角形的外心( )
A.$\triangle ACE$
B.$\triangle ABD$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle BCE$
A.$\triangle ACE$
B.$\triangle ABD$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle BCE$
答案：
D 如图，设每个小正方形的边长均为1，由勾股定理得PC = PE = PB = $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心。故选D。
D 如图，设每个小正方形的边长均为1，由勾股定理得PC = PE = PB = $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心。故选D。
9.「2025浙江杭州期中,★☆」如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,AB= 10,点O为AB的中点,以点C为圆心,5为半径作$\odot C$,则下列判断错误的是( )
A.点O在$\odot C$上
B.点B在$\odot C$上
C.点A在$\odot C$外
D.OB的中点在$\odot C$外
A.点O在$\odot C$上
B.点B在$\odot C$上
C.点A在$\odot C$外
D.OB的中点在$\odot C$外
答案：
D 如图，连接OC，取OB的中点D，连接CD，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 10，∴BC = $\frac{1}{2}AB = 5$，由勾股定理得AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2} = 5\sqrt{3}$，∵点O为AB的中点，∴OC = $\frac{1}{2}AB = OA = OB = 5$，∴OC = BC = 5，∵以点C为圆心，5为半径作⊙C，∴点O和点B在⊙C上，故A、B选项判断正确，不符合题意；∵AC = $5\sqrt{3} ＞ 5$，∴点A在⊙C外，故C选项判断正确，不符合题意；∵OC = OB = BC = 5，∴△BOC是等边三角形，∵D是OB的中点，∴CD⊥OB，∴在Rt△BCD中，CD ＜ BC，即CD ＜ 5，∴OB的中点在⊙C内，故D选项判断错误，符合题意。故选D。
D 如图，连接OC，取OB的中点D，连接CD，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 10，∴BC = $\frac{1}{2}AB = 5$，由勾股定理得AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2} = 5\sqrt{3}$，∵点O为AB的中点，∴OC = $\frac{1}{2}AB = OA = OB = 5$，∴OC = BC = 5，∵以点C为圆心，5为半径作⊙C，∴点O和点B在⊙C上，故A、B选项判断正确，不符合题意；∵AC = $5\sqrt{3} ＞ 5$，∴点A在⊙C外，故C选项判断正确，不符合题意；∵OC = OB = BC = 5，∴△BOC是等边三角形，∵D是OB的中点，∴CD⊥OB，∴在Rt△BCD中，CD ＜ BC，即CD ＜ 5，∴OB的中点在⊙C内，故D选项判断错误，符合题意。故选D。