1. 「2025 湖南娄底娄星二模」如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$AB为\odot O$的直径,$AC与\odot O相交于点D$,过点$D作DE\perp BC于点E$,$CB的延长线交\odot O于点F$,连接$OD$,$BD$。
(1) 求证：$DE为\odot O$的切线。
(2) 若$BE = 1$,$BF = 2$,求$AD$的长。
(1) 求证：$DE为\odot O$的切线。
(2) 若$BE = 1$,$BF = 2$,求$AD$的长。
答案：
解析
(1) 证明：∵ $ OA = OD $，∴ $ ∠A = ∠ADO $，
∵ $ AB = BC $，∴ $ ∠A = ∠C $，∴ $ ∠ADO = ∠C $，∴ $ OD // BC $。
∵ $ DE ⊥ BC $，∴ $ DE ⊥ OD $，
∵ $ OD $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ DE $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
(2) 如图，过点 $ O $ 作 $ OH ⊥ BF $ 于 $ H $，连接 $ OF $，则 $ ∠ODE = ∠DEH = ∠OHE = 90° $，
∴ 四边形 $ ODEH $ 是矩形，∴ $ OD = EH $，$ OH = DE $，
∵ $ OF = OB $，∴ $ BH = FH = 1 $，∴ $ OD = EH = OB = 2 $，
∴ $ AB = 2OD = 4 $，$ OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{3} $，
∴ $ DE = OH = \sqrt{3} $，∴ $ BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = 2 $，
∴ $ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $。
解析
(1) 证明：∵ $ OA = OD $，∴ $ ∠A = ∠ADO $，
∵ $ AB = BC $，∴ $ ∠A = ∠C $，∴ $ ∠ADO = ∠C $，∴ $ OD // BC $。
∵ $ DE ⊥ BC $，∴ $ DE ⊥ OD $，
∵ $ OD $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ DE $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
(2) 如图，过点 $ O $ 作 $ OH ⊥ BF $ 于 $ H $，连接 $ OF $，则 $ ∠ODE = ∠DEH = ∠OHE = 90° $，
∴ 四边形 $ ODEH $ 是矩形，∴ $ OD = EH $，$ OH = DE $，
∵ $ OF = OB $，∴ $ BH = FH = 1 $，∴ $ OD = EH = OB = 2 $，
∴ $ AB = 2OD = 4 $，$ OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{3} $，
∴ $ DE = OH = \sqrt{3} $，∴ $ BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = 2 $，
∴ $ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $。
2. 「2024 山西吕梁交城期中」如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D是AB$同侧圆上两点,$AC = BD$,$AD与BC交于点E$,延长$AD到F$,使$DF = DE$,连接$BF$。
(1) 求证：$CE = DE$。
(2) 若$AD平分\angle BAC$,求证：$BF为\odot O$的切线。
(1) 求证：$CE = DE$。
证明：∵ $ AB $ 是 $ ⊙O $ 的直径，∴ $ ∠C = ∠ADB = 90° $。在 $ Rt△ABC $ 和 $ Rt△BAD $ 中，$ \begin{cases} AB = BA \\ AC = BD \end{cases} $，∴ $ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL) $，∴ $ BC = AD $，$ ∠ABC = ∠BAD $，∴ $ AE = BE $，∴ $ CE = DE $。
(2) 若$AD平分\angle BAC$,求证：$BF为\odot O$的切线。
证明：∵ $ ∠ADB = 90° $，∴ $ BD ⊥ AF $，∵ $ DF = DE $，∴ $ BE = BF $，∴ $ ∠BEF = ∠F $。∵ $ AD $ 平分 $ ∠BAC $，∴ $ ∠CAE = ∠BAF $。∵ $ ∠C = 90° $，∴ $ ∠CAE + ∠AEC = 90° $。∵ $ ∠AEC = ∠BEF $，∴ $ ∠CAE + ∠BEF = 90° $，∴ $ ∠BAF + ∠F = 90° $，∴ $ ∠ABF = 90° $，∴ $ AB ⊥ BF $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ BF $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
答案：证明
(1) ∵ $ AB $ 是 $ ⊙O $ 的直径，∴ $ ∠C = ∠ADB = 90° $。在 $ Rt△ABC $ 和 $ Rt△BAD $ 中，$ \begin{cases} AB = BA \\ AC = BD \end{cases} $，∴ $ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL) $，∴ $ BC = AD $，$ ∠ABC = ∠BAD $，∴ $ AE = BE $，∴ $ CE = DE $。
(2) ∵ $ ∠ADB = 90° $，∴ $ BD ⊥ AF $，∵ $ DF = DE $，∴ $ BE = BF $，
∴ $ ∠BEF = ∠F $。∵ $ AD $ 平分 $ ∠BAC $，∴ $ ∠CAE = ∠BAF $。
∵ $ ∠C = 90° $，∴ $ ∠CAE + ∠AEC = 90° $。∵ $ ∠AEC = ∠BEF $，∴ $ ∠CAE + ∠BEF = 90° $，∴ $ ∠BAF + ∠F = 90° $，
∴ $ ∠ABF = 90° $，∴ $ AB ⊥ BF $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ BF $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
(1) ∵ $ AB $ 是 $ ⊙O $ 的直径，∴ $ ∠C = ∠ADB = 90° $。在 $ Rt△ABC $ 和 $ Rt△BAD $ 中，$ \begin{cases} AB = BA \\ AC = BD \end{cases} $，∴ $ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL) $，∴ $ BC = AD $，$ ∠ABC = ∠BAD $，∴ $ AE = BE $，∴ $ CE = DE $。
(2) ∵ $ ∠ADB = 90° $，∴ $ BD ⊥ AF $，∵ $ DF = DE $，∴ $ BE = BF $，
∴ $ ∠BEF = ∠F $。∵ $ AD $ 平分 $ ∠BAC $，∴ $ ∠CAE = ∠BAF $。
∵ $ ∠C = 90° $，∴ $ ∠CAE + ∠AEC = 90° $。∵ $ ∠AEC = ∠BEF $，∴ $ ∠CAE + ∠BEF = 90° $，∴ $ ∠BAF + ∠F = 90° $，
∴ $ ∠ABF = 90° $，∴ $ AB ⊥ BF $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ BF $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
3. 「2024 广西防城港防城期末」已知$P是\odot O$外一点,$PO交\odot O于点C$,$OC = CP = 2$,弦$AB\perp OC$,$\angle AOC的度数为60^{\circ}$,连接$PB$、$BC$。
(1) 求$BC$的长。
(2) 求证：$PB是\odot O$的切线。
(1) 求$BC$的长。
(2) 求证：$PB是\odot O$的切线。
答案：
解析
(1) 如图，连接 $ OB $。
∵ $ AB ⊥ OC $，$ ∠AOC = 60° $，
∴ $ ∠OAB = 30° $。∵ $ OB = OA $，
∴ $ ∠OBA = ∠OAB = 30° $，
∴ $ ∠BOC = 60° $。∵ $ OB = OC $，
∴ $ △OBC $ 为等边三角形，∴ $ BC = OC $。∵ $ OC = 2 $，
∴ $ BC = 2 $。
(2) 证明：由(1)知，$ △OBC $ 为等边三角形，∴ $ ∠OBC = 60° $，∵ $ OC = CP $，∴ $ BC = PC $，∴ $ ∠P = ∠CBP $，∴ $ ∠OCB = 2∠CBP $，∵ $ ∠OCB = 60° $，∴ $ ∠CBP = 30° $，∴ $ ∠OBP = 90° $，即 $ OB ⊥ PB $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ PB $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
解析
(1) 如图，连接 $ OB $。
∵ $ AB ⊥ OC $，$ ∠AOC = 60° $，
∴ $ ∠OAB = 30° $。∵ $ OB = OA $，
∴ $ ∠OBA = ∠OAB = 30° $，
∴ $ ∠BOC = 60° $。∵ $ OB = OC $，
∴ $ △OBC $ 为等边三角形，∴ $ BC = OC $。∵ $ OC = 2 $，
∴ $ BC = 2 $。
(2) 证明：由(1)知，$ △OBC $ 为等边三角形，∴ $ ∠OBC = 60° $，∵ $ OC = CP $，∴ $ BC = PC $，∴ $ ∠P = ∠CBP $，∴ $ ∠OCB = 2∠CBP $，∵ $ ∠OCB = 60° $，∴ $ ∠CBP = 30° $，∴ $ ∠OBP = 90° $，即 $ OB ⊥ PB $，∵ $ OB $ 是 $ ⊙O $ 的半径，∴ $ PB $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
4. 「2025 河南许昌禹州期中」如图所示,$AB为半圆O$的直径,点$C$,$F$在半圆上,过点$C的直线与OF的延长线相交于点D$,与$AB的延长线相交于点P$,$AC与OF相交于点E$,$DC = DE$,$OD\perp AB$。
(1) 求证：$PC为半圆O$的切线。
(2) 若$OB = BP$,$AB = 4$,求点$C到AP$的距离。
(1) 求证：$PC为半圆O$的切线。
(2) 若$OB = BP$,$AB = 4$,求点$C到AP$的距离。
答案：
解析
(1) 证明：如图，连接 $ OC $，则 $ OC = OA $，
∴ $ ∠OCA = ∠A $，∵ $ DC = DE $，$ ∠DEC = ∠AEO $，
∴ $ ∠DCE = ∠DEC = ∠AEO $，∵ $ OD ⊥ AB $，∴ $ ∠AOE = 90° $，∴ $ ∠OCD = ∠OCA + ∠DCE = ∠A + ∠AEO = 90° $，
∴ $ PC ⊥ OC $，∵ $ OC $ 是半圆 $ O $ 的半径，∴ $ PC $ 为半圆 $ O $ 的切线。
(2) 如图，过点 $ C $ 作 $ CH ⊥ AP $ 于点 $ H $，∵ $ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径，且 $ AB = 4 $，∴ $ OC = OB = \frac{1}{2}AB = 2 $，∵ $ OB = BP $，
∴ $ BP = 2 $，∴ $ OP = 4 $，∴ $ CP = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $，∵ $ S_{△OCP} = \frac{1}{2}OP \cdot CH = \frac{1}{2}CP \cdot OC $，∴ $ CH = \sqrt{3} $，
∴ 点 $ C $ 到 $ AP $ 的距离为 $ \sqrt{3} $。
解析
(1) 证明：如图，连接 $ OC $，则 $ OC = OA $，
∴ $ ∠OCA = ∠A $，∵ $ DC = DE $，$ ∠DEC = ∠AEO $，
∴ $ ∠DCE = ∠DEC = ∠AEO $，∵ $ OD ⊥ AB $，∴ $ ∠AOE = 90° $，∴ $ ∠OCD = ∠OCA + ∠DCE = ∠A + ∠AEO = 90° $，
∴ $ PC ⊥ OC $，∵ $ OC $ 是半圆 $ O $ 的半径，∴ $ PC $ 为半圆 $ O $ 的切线。
(2) 如图，过点 $ C $ 作 $ CH ⊥ AP $ 于点 $ H $，∵ $ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径，且 $ AB = 4 $，∴ $ OC = OB = \frac{1}{2}AB = 2 $，∵ $ OB = BP $，
∴ $ BP = 2 $，∴ $ OP = 4 $，∴ $ CP = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} $，∵ $ S_{△OCP} = \frac{1}{2}OP \cdot CH = \frac{1}{2}CP \cdot OC $，∴ $ CH = \sqrt{3} $，
∴ 点 $ C $ 到 $ AP $ 的距离为 $ \sqrt{3} $。
5. 「2024 江苏南京玄武期中」如图,在四边形$ABCD$中,$AC$,$BD相交于点E$,且$AB = AC = AD$,经过$A$,$C$,$D三点的\odot O交BD于点F$,连接$CF$。
(1) 求证：$CF = BF$。
(2) 若$CD = CB$,求证：$CB是\odot O$的切线。
(1) 求证：$CF = BF$。
(2) 若$CD = CB$,求证：$CB是\odot O$的切线。
答案：
证明
(1) ∵ $ AB = AC $，∴ $ ∠ACB = ∠ABC $。∵ $ AB = AD $，
∴ $ ∠ADB = ∠ABD $，∵ $ ∠ADB = ∠ACF $，∴ $ ∠ACF = ∠ABD $，∴ $ ∠ACB - ∠ACF = ∠ABC - ∠ABD $，即 $ ∠BCF = ∠CBF $，∴ $ CF = BF $。
(2) 连接 $ CO $ 并延长交 $ ⊙O $ 于 $ G $ 点，连接 $ GF $，∵ $ CG $ 为 $ ⊙O $ 的直径，
∴ $ ∠GFC = 90° $，∴ $ ∠G + ∠GCF = 90° $。∵ $ ∠CDB = ∠G $，∴ $ ∠CDB + ∠GCF = 90° $。∵ $ CD = CB $，∴ $ ∠CDB = ∠CBD $。∵ $ ∠BCF = ∠CBD $，∴ $ ∠BCF = ∠CDB $，∴ $ ∠BCF + ∠GCF = 90° $，∴ $ ∠BCG = 90° $，∴ $ CG ⊥ BC $，∵ $ CG $ 为 $ ⊙O $ 的直径，∴ $ CB $ 是 $ ⊙O $ 的切线。
证明
(1) ∵ $ AB = AC $，∴ $ ∠ACB = ∠ABC $。∵ $ AB = AD $，
∴ $ ∠ADB = ∠ABD $，∵ $ ∠ADB = ∠ACF $，∴ $ ∠ACF = ∠ABD $，∴ $ ∠ACB - ∠ACF = ∠ABC - ∠ABD $，即 $ ∠BCF = ∠CBF $，∴ $ CF = BF $。
(2) 连接 $ CO $ 并延长交 $ ⊙O $ 于 $ G $ 点，连接 $ GF $，∵ $ CG $ 为 $ ⊙O $ 的直径，
∴ $ ∠GFC = 90° $，∴ $ ∠G + ∠GCF = 90° $。∵ $ ∠CDB = ∠G $，∴ $ ∠CDB + ∠GCF = 90° $。∵ $ CD = CB $，∴ $ ∠CDB = ∠CBD $。∵ $ ∠BCF = ∠CBD $，∴ $ ∠BCF = ∠CDB $，∴ $ ∠BCF + ∠GCF = 90° $，∴ $ ∠BCG = 90° $，∴ $ CG ⊥ BC $，∵ $ CG $ 为 $ ⊙O $ 的直径，∴ $ CB $ 是 $ ⊙O $ 的切线。