8. (2024春·江宁区月考)如图，$AD,BF$相交于点$O,AB// DF,AC// DE$，点$E$与点$C$在$BF$上，且$BE=CF$。
(1)求证：$△ABC\cong △DFE$；
证明: $ ∵ AB // DF $, $ ∴ ∠B = ∠F $.$ ∵ AC // DE $, $ ∴ ∠ACB = ∠DEF $.$ ∵ BE = CF $, $ ∴ BC = EF $。在 $ △ABC $ 和 $ △DFE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠B = ∠F, } \end{array} \right. $$ ∴ △ABC ≌ △DFE $(
(2)求证：点$O$为$BF$的中点。
证明: $ ∵ △ABC ≌ △DFE $, $ ∴ AC = DE $。在 $ △ACO $ 和 $ △DEO $ 中,$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠AOC = ∠DOE, } \\ { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { AC = DE, } \end{array} \right. ∴ △ACO ≌ △DEO $(
(1)求证：$△ABC\cong △DFE$；
证明: $ ∵ AB // DF $, $ ∴ ∠B = ∠F $.$ ∵ AC // DE $, $ ∴ ∠ACB = ∠DEF $.$ ∵ BE = CF $, $ ∴ BC = EF $。在 $ △ABC $ 和 $ △DFE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠B = ∠F, } \end{array} \right. $$ ∴ △ABC ≌ △DFE $(
ASA
)。(2)求证：点$O$为$BF$的中点。
证明: $ ∵ △ABC ≌ △DFE $, $ ∴ AC = DE $。在 $ △ACO $ 和 $ △DEO $ 中,$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠AOC = ∠DOE, } \\ { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { AC = DE, } \end{array} \right. ∴ △ACO ≌ △DEO $(
AAS
),$ ∴ EO = CO $, $ ∵ BE = CF $, $ ∴ BO = FO $,$ ∴ $ 点 $ O $ 为 $ BF $ 的中点。答案：证明: (1) $ ∵ AB // DF $, $ ∴ ∠B = ∠F $.
$ ∵ AC // DE $, $ ∴ ∠ACB = ∠DEF $.
$ ∵ BE = CF $, $ ∴ BC = EF $.
在 $ △ABC $ 和 $ △DFE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠B = ∠F, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ABC ≌ △DFE (ASA) $.
(2) $ ∵ △ABC ≌ △DFE $, $ ∴ AC = DE $.
在 $ △ACO $ 和 $ △DEO $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠AOC = ∠DOE, } \\ { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { AC = DE, } \end{array} \right. ∴ △ACO ≌ △DEO (AAS) $,
$ ∴ EO = CO $, $ ∵ BE = CF $, $ ∴ BO = FO $,
$ ∴ $ 点 $ O $ 为 $ BF $ 的中点.
$ ∵ AC // DE $, $ ∴ ∠ACB = ∠DEF $.
$ ∵ BE = CF $, $ ∴ BC = EF $.
在 $ △ABC $ 和 $ △DFE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { BC = EF, } \\ { ∠B = ∠F, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ABC ≌ △DFE (ASA) $.
(2) $ ∵ △ABC ≌ △DFE $, $ ∴ AC = DE $.
在 $ △ACO $ 和 $ △DEO $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠AOC = ∠DOE, } \\ { ∠ACB = ∠DEF, } \\ { AC = DE, } \end{array} \right. ∴ △ACO ≌ △DEO (AAS) $,
$ ∴ EO = CO $, $ ∵ BE = CF $, $ ∴ BO = FO $,
$ ∴ $ 点 $ O $ 为 $ BF $ 的中点.
9. 已知$∠ACB=90^{\circ },AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM$，垂足分别为$D,E$。
(1)如图①。
①请写出线段$CD$和$BE$的数量关系，并说明理由；
答：线段$CD$和$BE$的数量关系为
②请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由。
答：线段$AD,BE,DE$之间的数量关系为
(2)如图②，上面②中结论还成立吗？如果不成立，请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由。
答：上面②中结论不成立，线段$AD,BE,DE$之间的数量关系为
(1)如图①。
①请写出线段$CD$和$BE$的数量关系，并说明理由；
答：线段$CD$和$BE$的数量关系为
$CD=BE$
。②请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由。
答：线段$AD,BE,DE$之间的数量关系为
$AD=BE+DE$
。(2)如图②，上面②中结论还成立吗？如果不成立，请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由。
答：上面②中结论不成立，线段$AD,BE,DE$之间的数量关系为
$DE=AD+BE$
。答案：解: (1) ① 结论: $ CD = BE $.
理由: $ ∵ AD ⊥ CM $, $ BE ⊥ CM $,
$ ∴ ∠ACB = ∠BEC = ∠ADC = 90° $,
$ ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90° $, $ ∠BCE + ∠B = 90° $,
$ ∴ ∠ACD = ∠B $.
在 $ △ACD $ 和 $ △CBE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ADC = ∠CEB, } \\ { ∠ACD = ∠B, } \\ { AC = CB, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ACD ≌ △CBE (AAS) $, $ ∴ CD = BE $.
② 结论: $ AD = BE + DE $.
理由: $ ∵ △ACD ≌ △CBE $, $ ∴ AD = CE $, $ CD = BE $.
$ ∵ CE = CD + DE = BE + DE $,
$ ∴ AD = BE + DE $.
(2) ② 中的结论不成立. $ DE = AD + BE $.
理由: $ ∵ AD ⊥ CM $, $ BE ⊥ CM $,
$ ∴ ∠ACB = ∠BEC = ∠ADC = 90° $,
$ ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90° $, $ ∠BCE + ∠B = 90° $,
$ ∴ ∠ACD = ∠B $.
在 $ △ACD $ 和 $ △CBE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ADC = ∠BEC, } \\ { ∠ACD = ∠B, } \\ { AC = CB, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ACD ≌ △CBE (AAS) $, $ ∴ AD = CE $, $ CD = BE $,
$ ∴ DE = CD + CE = BE + AD $,
$ ∴ DE = AD + BE $.
理由: $ ∵ AD ⊥ CM $, $ BE ⊥ CM $,
$ ∴ ∠ACB = ∠BEC = ∠ADC = 90° $,
$ ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90° $, $ ∠BCE + ∠B = 90° $,
$ ∴ ∠ACD = ∠B $.
在 $ △ACD $ 和 $ △CBE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ADC = ∠CEB, } \\ { ∠ACD = ∠B, } \\ { AC = CB, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ACD ≌ △CBE (AAS) $, $ ∴ CD = BE $.
② 结论: $ AD = BE + DE $.
理由: $ ∵ △ACD ≌ △CBE $, $ ∴ AD = CE $, $ CD = BE $.
$ ∵ CE = CD + DE = BE + DE $,
$ ∴ AD = BE + DE $.
(2) ② 中的结论不成立. $ DE = AD + BE $.
理由: $ ∵ AD ⊥ CM $, $ BE ⊥ CM $,
$ ∴ ∠ACB = ∠BEC = ∠ADC = 90° $,
$ ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90° $, $ ∠BCE + ∠B = 90° $,
$ ∴ ∠ACD = ∠B $.
在 $ △ACD $ 和 $ △CBE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { ∠ADC = ∠BEC, } \\ { ∠ACD = ∠B, } \\ { AC = CB, } \end{array} \right. $
$ ∴ △ACD ≌ △CBE (AAS) $, $ ∴ AD = CE $, $ CD = BE $,
$ ∴ DE = CD + CE = BE + AD $,
$ ∴ DE = AD + BE $.