1. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P沿折线BCD从点B运动到点D.设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是 （
D
）答案：D
2. (2024·兴化月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B(1，2)，点P在x轴上运动，当点P到A，B两点的距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是
(-1,0)
.答案：$(-1,0)$
3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$的图象$l_1$与x轴交于点A，一次函数y=x+6的图象$l_2$与x轴交于点B，与$l_1$交于点P.直线$l_3$过点A且与x轴垂直，C是$l_3$上的一个动点.
(1)分别求出点A，P的坐标；
(2)设直线PC对应的函数表达式为y=kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大.若△PCA的面积为15，分别求出k，b的值.
(1)A(
(2)k=
(1)分别求出点A，P的坐标；
(2)设直线PC对应的函数表达式为y=kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大.若△PCA的面积为15，分别求出k，b的值.
(1)A(
1,0
)，P(-2,4
)；(2)k=
2
，b=8
.答案：解: (1) 令 $y = 0$, 得 $-\frac{4}{3}x + \frac{4}{3} = 0$, 解得 $x = 1$, $\therefore A(1,0)$, 联立 $\begin{cases}y = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3},\\y = x + 6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = -2,\\y = 4,\end{cases}$ $\therefore P(-2,4)$.
(2) 由点 $A(1,0)$ 可知直线 $l_3$ 的函数表达式为 $x = 1$, 设点 $C$ 的坐标为 $(1,t)$, $\because$ 函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大, $P(-2,4)$, $\therefore k ＞ 0$, $t ＞ 4$, $\therefore S_{\triangle PCA} = \frac{1}{2}×(1 + 2)×t = 15$, $\therefore t = 10$, $\therefore C(1,10)$. 将 $P(-2,4)$, $C(1,10)$ 代入 $y = kx + b$, 得 $\begin{cases}-2k + b = 4,\\k + b = 10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2,\\b = 8.\end{cases}$
(2) 由点 $A(1,0)$ 可知直线 $l_3$ 的函数表达式为 $x = 1$, 设点 $C$ 的坐标为 $(1,t)$, $\because$ 函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大, $P(-2,4)$, $\therefore k ＞ 0$, $t ＞ 4$, $\therefore S_{\triangle PCA} = \frac{1}{2}×(1 + 2)×t = 15$, $\therefore t = 10$, $\therefore C(1,10)$. 将 $P(-2,4)$, $C(1,10)$ 代入 $y = kx + b$, 得 $\begin{cases}-2k + b = 4,\\k + b = 10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2,\\b = 8.\end{cases}$
4. (2024·张家港期末)如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A(3，0)，点B(0，2)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点P(1，a)为坐标系中的一个动点.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)求出△ABC的面积；
(3)当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)求出△ABC的面积；
(3)当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值.
答案：
解: (1) 设直线 $l$ 的函数表达式为 $y = kx + b$, 则 $\begin{cases}0 = 3k + b,\\b = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\frac{2}{3},\\b = 2,\end{cases}$ 故直线 $l$ 的函数表达式为 $y = -\frac{2}{3}x + 2$.
(2) 在 $Rt\triangle ABO$ 中, 由勾股定理得 $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, $\because \triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $AB$ 为直角边, $\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB^2 = \frac{13}{2}$.
(3) ① 若点 $P$ 在第一象限, $\because S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}×3×2 = 3$, $S_{\triangle ABC} = \frac{13}{2}$, $\therefore$ 点 $P$ 在直线 $AB$ 上方, 如答图①, 连接 $BP$, $PO$, $PA$. $\because S_{\triangle ABO} = 3$, $S_{\triangle APO} = \frac{3}{2}a$, $S_{\triangle BOP} = 1$, $\therefore S_{\triangle ABP} = S_{\triangle BOP} + S_{\triangle APO} - S_{\triangle ABO} = \frac{13}{2}$, 即 $1 + \frac{3}{2}a - 3 = \frac{13}{2}$, 解得 $a = \frac{17}{3}$. ② 若点 $P$ 在第四象限, 如答图②, 连接 $BP$, $PO$, $PA$. $\because S_{\triangle ABO} = 3$, $S_{\triangle APO} = -\frac{3}{2}a$, $S_{\triangle BOP} = 1$, $\therefore S_{\triangle ABP} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle APO} - S_{\triangle BOP} = \frac{13}{2}$, 即 $3 - \frac{3}{2}a - 1 = \frac{13}{2}$, 解得 $a = -3$. 故当 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ABP$ 面积相等时, 实数 $a$ 的值为 $\frac{17}{3}$ 或 $-3$.
解: (1) 设直线 $l$ 的函数表达式为 $y = kx + b$, 则 $\begin{cases}0 = 3k + b,\\b = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\frac{2}{3},\\b = 2,\end{cases}$ 故直线 $l$ 的函数表达式为 $y = -\frac{2}{3}x + 2$.
(2) 在 $Rt\triangle ABO$ 中, 由勾股定理得 $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, $\because \triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $AB$ 为直角边, $\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB^2 = \frac{13}{2}$.
(3) ① 若点 $P$ 在第一象限, $\because S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}×3×2 = 3$, $S_{\triangle ABC} = \frac{13}{2}$, $\therefore$ 点 $P$ 在直线 $AB$ 上方, 如答图①, 连接 $BP$, $PO$, $PA$. $\because S_{\triangle ABO} = 3$, $S_{\triangle APO} = \frac{3}{2}a$, $S_{\triangle BOP} = 1$, $\therefore S_{\triangle ABP} = S_{\triangle BOP} + S_{\triangle APO} - S_{\triangle ABO} = \frac{13}{2}$, 即 $1 + \frac{3}{2}a - 3 = \frac{13}{2}$, 解得 $a = \frac{17}{3}$. ② 若点 $P$ 在第四象限, 如答图②, 连接 $BP$, $PO$, $PA$. $\because S_{\triangle ABO} = 3$, $S_{\triangle APO} = -\frac{3}{2}a$, $S_{\triangle BOP} = 1$, $\therefore S_{\triangle ABP} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle APO} - S_{\triangle BOP} = \frac{13}{2}$, 即 $3 - \frac{3}{2}a - 1 = \frac{13}{2}$, 解得 $a = -3$. 故当 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ABP$ 面积相等时, 实数 $a$ 的值为 $\frac{17}{3}$ 或 $-3$.