12. （2023·雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
| 品名 | 甲蔬菜 | 乙蔬菜 |
| --- | --- | --- |
| 批发价/（元/kg） | 4.8 | 4 |
| 零售价/（元/kg） | 7.21 | 5.6 |
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共 40 kg 花 180 元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共 80 kg 花 $ m $ 元，设批发甲种蔬菜 $ n $ kg，求 $ m $ 与 $ n $ 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 176 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
| 品名 | 甲蔬菜 | 乙蔬菜 |
| --- | --- | --- |
| 批发价/（元/kg） | 4.8 | 4 |
| 零售价/（元/kg） | 7.21 | 5.6 |
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共 40 kg 花 180 元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共 80 kg 花 $ m $ 元，设批发甲种蔬菜 $ n $ kg，求 $ m $ 与 $ n $ 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 176 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
答案：解：(1)设批发甲种蔬菜 x kg，批发乙种蔬菜 y kg，
根据题意得 $\begin{cases} x + y = 40, \\ 4.8x + 4y = 180, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 25, \\ y = 15. \end{cases}$
答：批发甲种蔬菜 25 kg，批发乙种蔬菜 15 kg。
(2)根据题意得 m = 4.8n + (80 - n)×4，即 m = 0.8n + 320。
(3)设全部卖完蔬菜后利润为 w 元，根据题意得，
w = (7.21 - 4.8)n + (5.6 - 4)(80 - n)，
整理得 w = 0.81n + 128，∵要保证利润不低于 176 元，
∴ w = 0.81n + 128 ≥ 176，解得 n ≥ $\frac{1600}{27}$。
∴至少批发甲种蔬菜 $\frac{1600}{27}$ kg。
根据题意得 $\begin{cases} x + y = 40, \\ 4.8x + 4y = 180, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 25, \\ y = 15. \end{cases}$
答：批发甲种蔬菜 25 kg，批发乙种蔬菜 15 kg。
(2)根据题意得 m = 4.8n + (80 - n)×4，即 m = 0.8n + 320。
(3)设全部卖完蔬菜后利润为 w 元，根据题意得，
w = (7.21 - 4.8)n + (5.6 - 4)(80 - n)，
整理得 w = 0.81n + 128，∵要保证利润不低于 176 元，
∴ w = 0.81n + 128 ≥ 176，解得 n ≥ $\frac{1600}{27}$。
∴至少批发甲种蔬菜 $\frac{1600}{27}$ kg。
13. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ l_1:y = kx + 5 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $. 直线 $ l_2:y = - x + 1 $ 与直线 $ l_1 $ 交于点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
（1）当点 $ B $ 的纵坐标为 2 时.
①写出点 $ B $ 的坐标及 $ k $ 的值；点 B 的坐标为(
②求直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ y $ 轴所围成的图形的面积.面积为
（2）当点 $ B $ 的横坐标 $ x_B $ 满足 $ - 3 \leqslant x_B \leqslant - 1 $ 时，求实数 $ k $ 的取值范围.实数k的取值范围是
（1）当点 $ B $ 的纵坐标为 2 时.
①写出点 $ B $ 的坐标及 $ k $ 的值；点 B 的坐标为(
(-1,2)
)，k的值为3
。②求直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ y $ 轴所围成的图形的面积.面积为
2
。（2）当点 $ B $ 的横坐标 $ x_B $ 满足 $ - 3 \leqslant x_B \leqslant - 1 $ 时，求实数 $ k $ 的取值范围.实数k的取值范围是
$\frac{1}{3} \leqslant k \leqslant 3$
。答案：1. （1）①
因为点$B$在直线$l_{2}:y = - x + 1$上，且$y_{B}=2$，将$y = 2$代入$y=-x + 1$得：
$2=-x + 1$，解得$x=-1$，所以$B(-1,2)$。
又因为点$B(-1,2)$在直线$l_{1}:y = kx + 5$上，将$x=-1$，$y = 2$代入$y = kx + 5$得：
$2=-k + 5$，解得$k = 3$。
②
对于直线$l_{1}:y = 3x + 5$，令$x = 0$，则$y = 5$，所以$A(0,5)$；对于直线$l_{2}:y=-x + 1$，令$x = 0$，则$y = 1$，所以$C(0,1)$。
由①知$B(-1,2)$，直线$l_1$，$l_2$与$y$轴所围成的图形是$\triangle ABC$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底$AC=\vert5 - 1\vert=4$，高为$\vert x_{B}\vert = 1$。
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC×\vert x_{B}\vert=\frac{1}{2}×4×1 = 2$。
2. （2）
联立$\begin{cases}y = kx + 5\\y=-x + 1\end{cases}$，可得$kx + 5=-x + 1$，移项得$(k + 1)x=-4$，解得$x=\frac{-4}{k + 1}$（$k\neq - 1$），因为$x_{B}=\frac{-4}{k + 1}$，且$-3\leqslant x_{B}\leqslant - 1$。
当$k+1\gt0$，即$k\gt - 1$时：
$-3\leqslant\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$，由$\frac{-4}{k + 1}\geqslant - 3$得$-4\geqslant - 3(k + 1)$，即$-4\geqslant - 3k-3$，$3k\geqslant - 3 + 4$，$3k\geqslant1$，$k\geqslant\frac{1}{3}$；由$\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$得$-4\leqslant-(k + 1)$，$-4\leqslant - k - 1$，$k\leqslant3$，所以$\frac{1}{3}\leqslant k\leqslant3$。
当$k + 1\lt0$，即$k\lt - 1$时：
$-3\leqslant\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$，由$\frac{-4}{k + 1}\geqslant - 3$得$-4\leqslant - 3(k + 1)$，$-4\leqslant - 3k-3$，$3k\leqslant - 3 + 4$，$3k\leqslant1$，$k\leqslant\frac{1}{3}$；由$\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$得$-4\geqslant-(k + 1)$，$-4\geqslant - k - 1$，$k\geqslant3$，此时无解。
综上：
（1）①$B(-1,2)$，$k = 3$；②$2$；
（2）$\frac{1}{3}\leqslant k\leqslant3$。
因为点$B$在直线$l_{2}:y = - x + 1$上，且$y_{B}=2$，将$y = 2$代入$y=-x + 1$得：
$2=-x + 1$，解得$x=-1$，所以$B(-1,2)$。
又因为点$B(-1,2)$在直线$l_{1}:y = kx + 5$上，将$x=-1$，$y = 2$代入$y = kx + 5$得：
$2=-k + 5$，解得$k = 3$。
②
对于直线$l_{1}:y = 3x + 5$，令$x = 0$，则$y = 5$，所以$A(0,5)$；对于直线$l_{2}:y=-x + 1$，令$x = 0$，则$y = 1$，所以$C(0,1)$。
由①知$B(-1,2)$，直线$l_1$，$l_2$与$y$轴所围成的图形是$\triangle ABC$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底$AC=\vert5 - 1\vert=4$，高为$\vert x_{B}\vert = 1$。
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC×\vert x_{B}\vert=\frac{1}{2}×4×1 = 2$。
2. （2）
联立$\begin{cases}y = kx + 5\\y=-x + 1\end{cases}$，可得$kx + 5=-x + 1$，移项得$(k + 1)x=-4$，解得$x=\frac{-4}{k + 1}$（$k\neq - 1$），因为$x_{B}=\frac{-4}{k + 1}$，且$-3\leqslant x_{B}\leqslant - 1$。
当$k+1\gt0$，即$k\gt - 1$时：
$-3\leqslant\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$，由$\frac{-4}{k + 1}\geqslant - 3$得$-4\geqslant - 3(k + 1)$，即$-4\geqslant - 3k-3$，$3k\geqslant - 3 + 4$，$3k\geqslant1$，$k\geqslant\frac{1}{3}$；由$\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$得$-4\leqslant-(k + 1)$，$-4\leqslant - k - 1$，$k\leqslant3$，所以$\frac{1}{3}\leqslant k\leqslant3$。
当$k + 1\lt0$，即$k\lt - 1$时：
$-3\leqslant\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$，由$\frac{-4}{k + 1}\geqslant - 3$得$-4\leqslant - 3(k + 1)$，$-4\leqslant - 3k-3$，$3k\leqslant - 3 + 4$，$3k\leqslant1$，$k\leqslant\frac{1}{3}$；由$\frac{-4}{k + 1}\leqslant - 1$得$-4\geqslant-(k + 1)$，$-4\geqslant - k - 1$，$k\geqslant3$，此时无解。
综上：
（1）①$B(-1,2)$，$k = 3$；②$2$；
（2）$\frac{1}{3}\leqslant k\leqslant3$。