1. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，点 $ D $ 为斜边 $ BC $ 上一点，且 $ BD = BA $，过点 $ D $ 作 $ BC $ 的垂线交 $ AC $ 于点 $ E $。求证：点 $ E $ 在 $ \angle ABC $ 的平分线上。
答案：
证明:连接BE，如答图.
∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中, { BE = BE, BA = BD }
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),
∴∠ABE=∠DBE,
∴点E在∠ABC的平分线上.
证明:连接BE，如答图.
∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中, { BE = BE, BA = BD }
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),
∴∠ABE=∠DBE,
∴点E在∠ABC的平分线上.
2. 已知，如图，$ AB = AE $，$ \angle B = \angle E $，$ BC = ED $，$ AF $ 平分 $ \angle BAE $，求证：$ AF \perp CD $。
答案：
证明:如答图，连接AC,AD.
在△ABC和△AED中, { AB = AE, ∠B = ∠E, BC = ED }
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,∠BAC=∠EAD.
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠EAF,
∴∠BAF−∠BAC=∠EAF−∠EAD,
∴∠FAC=∠FAD.
在△ACF和△ADF中, { AC = AD, ∠FAC = ∠FAD, AF = AF }
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=90°,即AF⊥CD.
证明:如答图，连接AC,AD.
在△ABC和△AED中, { AB = AE, ∠B = ∠E, BC = ED }
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,∠BAC=∠EAD.
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠EAF,
∴∠BAF−∠BAC=∠EAF−∠EAD,
∴∠FAC=∠FAD.
在△ACF和△ADF中, { AC = AD, ∠FAC = ∠FAD, AF = AF }
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=90°,即AF⊥CD.
3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD $ 为 $ BC $ 边上的中线。求证：$ AB + AC ＞ 2AD $。
答案：
证明:如答图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.
∵AD为BC边上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,
{ AD = DE, ∠ADB = ∠EDC, BD = CD }
∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC.
在△ACE中,
∵AC+EC＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD.
证明:如答图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.
∵AD为BC边上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,
{ AD = DE, ∠ADB = ∠EDC, BD = CD }
∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC.
在△ACE中,
∵AC+EC＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD.
4. 如图，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，$ AB = AE $，$ AC = AF $，$ \angle BAE = \angle CAF = 90^{\circ} $，试判断线段 $ AD $ 与 $ EF $ 的数量关系，并加以证明。
答案：
解:EF=2AD.
证明:如答图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△MDB和△ADC中,
{ BD = CD, ∠BDM = ∠CDA, DM = AD }
∴△MDB≌△ADC(SAS),
∴BM=AC,∠M=∠CAD,∴AC//BM,
∴∠BAC+∠ABM=180°,
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,∴∠ABM=∠EAF.
∵AC=AF,∴BM=AF.
在△ABM和△EAF中, { AB = EA, ∠ABM = ∠EAF, BM = AF }
∴△ABM≌△EAF(SAS),∴AM=EF,
∵AD=DM,∴AM=2AD,∴EF=2AD.
解:EF=2AD.
证明:如答图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△MDB和△ADC中,
{ BD = CD, ∠BDM = ∠CDA, DM = AD }
∴△MDB≌△ADC(SAS),
∴BM=AC,∠M=∠CAD,∴AC//BM,
∴∠BAC+∠ABM=180°,
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,∴∠ABM=∠EAF.
∵AC=AF,∴BM=AF.
在△ABM和△EAF中, { AB = EA, ∠ABM = ∠EAF, BM = AF }
∴△ABM≌△EAF(SAS),∴AM=EF,
∵AD=DM,∴AM=2AD,∴EF=2AD.