7. (2023·烟台改编)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE. 在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE. 求证：DE=BF.
证明：
证明：
∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，∴∠A=∠DCA,DA=DC,∠ECB=∠CBE,CE=BE，∵∠A=∠CBE,∴∠DCA=∠CBE，∴DC//BE,∴∠DCE=∠CEB，∵EF=AD=DC,CE=BE，∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE=BF
.答案：7. 证明：$ \because \triangle ACD, \triangle BCE $ 分别是以 $ AC, BC $ 为底边的等腰三角形，
$ \therefore \angle A = \angle DCA, DA = DC, \angle ECB = \angle CBE, CE = BE $，
$ \because \angle A = \angle CBE, \therefore \angle DCA = \angle CBE $，
$ \therefore DC // BE, \therefore \angle DCE = \angle CEB $，
$ \because EF = AD = DC, CE = BE $，
$ \therefore \triangle DCE \cong \triangle FEB(SAS) $，
$ \therefore DE = BF $。
$ \therefore \angle A = \angle DCA, DA = DC, \angle ECB = \angle CBE, CE = BE $，
$ \because \angle A = \angle CBE, \therefore \angle DCA = \angle CBE $，
$ \therefore DC // BE, \therefore \angle DCE = \angle CEB $，
$ \because EF = AD = DC, CE = BE $，
$ \therefore \triangle DCE \cong \triangle FEB(SAS) $，
$ \therefore DE = BF $。
8. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
答案：
8. 证明：如答图，在 $ AE $ 上截取 $ AM = AD $，连接 $ CM $。
$ \because AC $ 平分 $ \angle BAD, \therefore \angle 1 = \angle 2 $。
在 $ \triangle AMC $ 和 $ \triangle ADC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { A C = A C, } \\ { \angle 1 = \angle 2, } \\ { A M = A D, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A M C \cong \triangle A D C ( S A S ) $，
$ \therefore \angle 3 = \angle D $。
$ \because \angle B + \angle D = 180 ^ { \circ }, \angle 3 + \angle 4 = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle 4 = \angle B, \therefore C M = C B $，
$ \because C E \perp A B $，
$ \therefore M E = E B $，
$ \because A E = A M + M E, \therefore A E = A D + B E $。
8. 证明：如答图，在 $ AE $ 上截取 $ AM = AD $，连接 $ CM $。
$ \because AC $ 平分 $ \angle BAD, \therefore \angle 1 = \angle 2 $。
在 $ \triangle AMC $ 和 $ \triangle ADC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { A C = A C, } \\ { \angle 1 = \angle 2, } \\ { A M = A D, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A M C \cong \triangle A D C ( S A S ) $，
$ \therefore \angle 3 = \angle D $。
$ \because \angle B + \angle D = 180 ^ { \circ }, \angle 3 + \angle 4 = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle 4 = \angle B, \therefore C M = C B $，
$ \because C E \perp A B $，
$ \therefore M E = E B $，
$ \because A E = A M + M E, \therefore A E = A D + B E $。
9. 如图，点P，Q分别是等边△ABC的边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q以相同的速度，同时从点A，B出发.
(1)如图①，连接AQ，CP，求证：△ABQ≌△CAP.
(2)如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
(3)如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
(1)如图①，连接AQ，CP，求证：△ABQ≌△CAP.
(2)如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
不变，60°
(3)如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
不变，120°
答案：9. (1) 证明：$ \because \triangle A B C $ 是等边三角形，
$ \therefore \angle A B Q = \angle C A P = 60 ^ { \circ }, A B = C A $。
又 $ \because $ 点 $ P, Q $ 的运动速度相同，
$ \therefore A P = B Q $。
在 $ \triangle A B Q $ 与 $ \triangle C A P $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = C A, } \\ { \angle A B Q = \angle C A P, } \\ { B Q = A P, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A B Q \cong \triangle C A P ( S A S ) $。
(2) 解：点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 边上运动时，$ \angle Q M C $ 的大小不变。
$ \because \triangle A B Q \cong \triangle C A P, \therefore \angle B A Q = \angle A C P $。
$ \because \angle Q M C $ 是 $ \triangle A C M $ 的外角，
$ \therefore \angle Q M C = \angle A C P + \angle M A C = \angle B A Q + \angle M A C = \angle B A C $。
$ \because \angle B A C = 60 ^ { \circ }, \therefore \angle Q M C = 60 ^ { \circ } $。
(3) 解：点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 的延长线上运动时，$ \angle Q M C $ 的大小不变。
同 (1) 可得，$ \triangle A B Q \cong \triangle C A P $，
$ \therefore \angle B A Q = \angle A C P $，
$ \because \angle Q M C $ 是 $ \triangle A P M $ 的外角，
$ \therefore \angle Q M C = \angle B A Q + \angle A P M $，
$ \therefore \angle Q M C = \angle A C P + \angle A P M = 180 ^ { \circ } - \angle P A C = 180 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 120 ^ { \circ } $，
即当点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 的延长线上运动时，$ \angle Q M C $ 的度数为 $ 120 ^ { \circ } $。
$ \therefore \angle A B Q = \angle C A P = 60 ^ { \circ }, A B = C A $。
又 $ \because $ 点 $ P, Q $ 的运动速度相同，
$ \therefore A P = B Q $。
在 $ \triangle A B Q $ 与 $ \triangle C A P $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = C A, } \\ { \angle A B Q = \angle C A P, } \\ { B Q = A P, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A B Q \cong \triangle C A P ( S A S ) $。
(2) 解：点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 边上运动时，$ \angle Q M C $ 的大小不变。
$ \because \triangle A B Q \cong \triangle C A P, \therefore \angle B A Q = \angle A C P $。
$ \because \angle Q M C $ 是 $ \triangle A C M $ 的外角，
$ \therefore \angle Q M C = \angle A C P + \angle M A C = \angle B A Q + \angle M A C = \angle B A C $。
$ \because \angle B A C = 60 ^ { \circ }, \therefore \angle Q M C = 60 ^ { \circ } $。
(3) 解：点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 的延长线上运动时，$ \angle Q M C $ 的大小不变。
同 (1) 可得，$ \triangle A B Q \cong \triangle C A P $，
$ \therefore \angle B A Q = \angle A C P $，
$ \because \angle Q M C $ 是 $ \triangle A P M $ 的外角，
$ \therefore \angle Q M C = \angle B A Q + \angle A P M $，
$ \therefore \angle Q M C = \angle A C P + \angle A P M = 180 ^ { \circ } - \angle P A C = 180 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 120 ^ { \circ } $，
即当点 $ P, Q $ 分别在 $ A B, B C $ 的延长线上运动时，$ \angle Q M C $ 的度数为 $ 120 ^ { \circ } $。