5.(2024春·滨湖区期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 6$,点D为斜边AB上一点,连接CD,将$\triangle BCD$沿CD翻折,使点B落在点E处,点F为直角边AC上一点,连接DF,将$\triangle ADF$沿DF翻折,点A恰好与点E重合.若$AD = 5$,则AF的长为 (
A.1
B.$\frac {4}{3}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {7}{4}$
D
)A.1
B.$\frac {4}{3}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {7}{4}$
答案：D
6.如图,三角形纸片ABC中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AB = 5$.D是BC边上一点,连接AD,把$\triangle ABD$沿AD翻折,点B恰好落在AC延长线上的点$B'$处,则CD的长为
$\frac {4}{3}$
.答案：$\frac {4}{3}$
7.(2024春·广陵区月考)如图,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在AB边上的点F处,折痕为DE.已知$AB = AC$,$FD\perp BC$.
(1)猜想$\angle AFE$的度数为
(2)$AF = 4$,$BF = 6$,求AE的长为
(1)猜想$\angle AFE$的度数为
90°
,并说明理由;(2)$AF = 4$,$BF = 6$,求AE的长为
$\frac{29}{5}$
.答案：解:(1)∠AFE的度数为90°,理由如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
由折叠的性质可知,∠DFE=∠C,EF=CE,
∴∠DFE=∠B,∵FD⊥BC,∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠BFD=180°-∠BDF=90°,
∴∠DFE+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°-(∠DFE+∠BFD)=90°,
∴∠AFE的度数为90°.
(2)∵AF=4,BF=6,∴AC=AB=10,
设AE=x,则EF=CE=10-x,
在Rt△AEF中,由勾股定理得,AF²=AE²-EF²,
即4²=x²-(10-x)²,
解得$x=\frac {29}{5}$,∴AE的长为$\frac {29}{5}$.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
由折叠的性质可知,∠DFE=∠C,EF=CE,
∴∠DFE=∠B,∵FD⊥BC,∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠BFD=180°-∠BDF=90°,
∴∠DFE+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°-(∠DFE+∠BFD)=90°,
∴∠AFE的度数为90°.
(2)∵AF=4,BF=6,∴AC=AB=10,
设AE=x,则EF=CE=10-x,
在Rt△AEF中,由勾股定理得,AF²=AE²-EF²,
即4²=x²-(10-x)²,
解得$x=\frac {29}{5}$,∴AE的长为$\frac {29}{5}$.
8.(2024·兴化期末)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,进行如下操作:
(1)如图①,将$Rt\triangle ABC$沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长;
CD的长为
(2)如图②,将直角边AC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长.
CD的长为
(1)如图①,将$Rt\triangle ABC$沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长;
CD的长为
$\frac {7}{8}$
(2)如图②,将直角边AC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长.
CD的长为
$\frac {3}{2}$
答案：解:(1)由折叠可知AD=BD=BC-CD,
在Rt△ADC中,根据勾股定理得AD²=CD²+AC²,
∴(BC-CD)²=CD²+AC²,
∴(4-CD)²=CD²+3²,∴$CD=\frac {7}{8}$.
(2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90°.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,
∴BE=AB-AE=5-3=2,
BD=BC-CD=4-CD.
在Rt△BED中,根据勾股定理得BD²=ED²+BE²,
∴(4-CD)²=CD²+2²,∴$CD=\frac {3}{2}$.
在Rt△ADC中,根据勾股定理得AD²=CD²+AC²,
∴(BC-CD)²=CD²+AC²,
∴(4-CD)²=CD²+3²,∴$CD=\frac {7}{8}$.
(2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90°.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,
∴BE=AB-AE=5-3=2,
BD=BC-CD=4-CD.
在Rt△BED中,根据勾股定理得BD²=ED²+BE²,
∴(4-CD)²=CD²+2²,∴$CD=\frac {3}{2}$.