1.(2024·建邺区一模)如图,在长方形纸片ABCD中,$AB = 10$,$AD = 6$,点E为AD边上一点,将$\triangle ABE$沿BE翻折,点A恰好落在CD边上的点F处,则AE的长为 (
A.$\frac {8}{3}$
B.$\frac {10}{3}$
C.$\frac {7}{2}$
D.$\frac {13}{4}$
B
)A.$\frac {8}{3}$
B.$\frac {10}{3}$
C.$\frac {7}{2}$
D.$\frac {13}{4}$
答案：B
2.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的$B'$处,点A的对应点为$A'$,若$B'C = 3$,则$BN =$
5
,$AM =$2
.答案：5 2
3.(2023春·高新区期末)如图,在正方形ABCD中,点E是边AB的中点,将$\triangle BCE$沿CE翻折得到$\triangle GCE$.延长CG交AD于点H,连接EH.
(1)求证:$\triangle EAH\cong \triangle EGH$;
证明:∵点E为边AB的中点,
∴AE=BE,
由翻折可知:GE=BE,∠A=∠EGH=∠EGC=90°,
∴AE=GE,
在Rt△EAH与Rt△EGH中,$\left\{\begin{array}{l} EH=EH,\\ AE=GE,\end{array}\right. $
∴Rt△EAH≌Rt△EGH(
(2)若$AB = 10$,求CH的长.
解:在正方形ABCD中,AD=CD=AB=BC=10,
∵Rt△EAH≌Rt△EGH,
∴AH=GH,∴DH=AD-AH=10-AH,
由翻折可知:GC=BC=10,
∴CH=CG+GH=10+AH,
∵DH²+CD²=CH²,
∴(10-AH)²+10²=(10+AH)²,
∴AH=2.5,∴CH=10+AH=
(1)求证:$\triangle EAH\cong \triangle EGH$;
证明:∵点E为边AB的中点,
∴AE=BE,
由翻折可知:GE=BE,∠A=∠EGH=∠EGC=90°,
∴AE=GE,
在Rt△EAH与Rt△EGH中,$\left\{\begin{array}{l} EH=EH,\\ AE=GE,\end{array}\right. $
∴Rt△EAH≌Rt△EGH(
HL
).(2)若$AB = 10$,求CH的长.
解:在正方形ABCD中,AD=CD=AB=BC=10,
∵Rt△EAH≌Rt△EGH,
∴AH=GH,∴DH=AD-AH=10-AH,
由翻折可知:GC=BC=10,
∴CH=CG+GH=10+AH,
∵DH²+CD²=CH²,
∴(10-AH)²+10²=(10+AH)²,
∴AH=2.5,∴CH=10+AH=
12.5
.答案：(1)证明:∵点E为边AB的中点,
∴AE=BE,
由翻折可知:GE=BE,∠A=∠EGH=∠EGC=90°,
∴AE=GE,
在Rt△EAH与Rt△EGH中,$\left\{\begin{array}{l} EH=EH,\\ AE=GE,\end{array}\right. $
∴Rt△EAH≌Rt△EGH(HL).
(2)解:在正方形ABCD中,AD=CD=AB=BC=10,
∵Rt△EAH≌Rt△EGH,
∴AH=GH,∴DH=AD-AH=10-AH,
由翻折可知:GC=BC=10,
∴CH=CG+GH=10+AH,
∵DH²+CD²=CH²,
∴(10-AH)²+10²=(10+AH)²,
∴AH=2.5,∴CH=10+AH=12.5.
∴AE=BE,
由翻折可知:GE=BE,∠A=∠EGH=∠EGC=90°,
∴AE=GE,
在Rt△EAH与Rt△EGH中,$\left\{\begin{array}{l} EH=EH,\\ AE=GE,\end{array}\right. $
∴Rt△EAH≌Rt△EGH(HL).
(2)解:在正方形ABCD中,AD=CD=AB=BC=10,
∵Rt△EAH≌Rt△EGH,
∴AH=GH,∴DH=AD-AH=10-AH,
由翻折可知:GC=BC=10,
∴CH=CG+GH=10+AH,
∵DH²+CD²=CH²,
∴(10-AH)²+10²=(10+AH)²,
∴AH=2.5,∴CH=10+AH=12.5.
4.(2024春·江阴月考)如图,在长方形ABCD中,$AB = 8$,$BC = 6$,点P,E分别是边AB,BC上的动点,连接DP,PE.将$\triangle ADP$与$\triangle BPE$分别沿DP与PE折叠,点A与点B分别落在点$A',B'$处.
(1)如图②,当点P运动到边AB的中点处时,点$A'$与点$B'$重合于点F处,过点C作$CK\perp EF$于点K,求CK的长;
(2)当点P运动到某一位置,若$P,A',B'$三点恰好在同一直线上,且$A'B' = 4$,试求此时AP的长.
(1)如图②,当点P运动到边AB的中点处时,点$A'$与点$B'$重合于点F处,过点C作$CK\perp EF$于点K,求CK的长;
$\frac {40}{13}$
(2)当点P运动到某一位置,若$P,A',B'$三点恰好在同一直线上,且$A'B' = 4$,试求此时AP的长.
2或6
答案：解:(1)由折叠知∠PFD=∠PFE=90°,
∴∠PFD+∠PFE=180°,即E,F,D三点在同一直线上.
设BE=EF=x,则EC=6-x,
∵DC=AB=8,DF=AD=6,
∴在Rt△DEC中,DE=DF+FE=6+x,EC=6-x,DC=8,
∴(6+x)²=(6-x)²+8²,解得$x=\frac {8}{3}$,即$BE=EF=\frac {8}{3}$,
∴$DE=\frac {26}{3},EC=\frac {10}{3}$,
∵$S_{△DCE}=\frac {1}{2}DC\cdot CE=\frac {1}{2}DE\cdot CK$,即$8×\frac {10}{3}=\frac {26}{3}CK$,
∴$CK=\frac {40}{13}$.
(2)设AP=x,则PB=8-x.
由折叠可知,PA'=PA=x,PB'=PB=8-x.
∵A'B'=4,∴PB'-PA'=4或PA'-PB'=4.
由PB'-PA'=4,得8-x-x=4,∴x=2,即AP=2.
由PA'-PB'=4,得x-(8-x)=4,
∴x=6,即AP=6.
综上所述,AP的长为2或6.
∴∠PFD+∠PFE=180°,即E,F,D三点在同一直线上.
设BE=EF=x,则EC=6-x,
∵DC=AB=8,DF=AD=6,
∴在Rt△DEC中,DE=DF+FE=6+x,EC=6-x,DC=8,
∴(6+x)²=(6-x)²+8²,解得$x=\frac {8}{3}$,即$BE=EF=\frac {8}{3}$,
∴$DE=\frac {26}{3},EC=\frac {10}{3}$,
∵$S_{△DCE}=\frac {1}{2}DC\cdot CE=\frac {1}{2}DE\cdot CK$,即$8×\frac {10}{3}=\frac {26}{3}CK$,
∴$CK=\frac {40}{13}$.
(2)设AP=x,则PB=8-x.
由折叠可知,PA'=PA=x,PB'=PB=8-x.
∵A'B'=4,∴PB'-PA'=4或PA'-PB'=4.
由PB'-PA'=4,得8-x-x=4,∴x=2,即AP=2.
由PA'-PB'=4,得x-(8-x)=4,
∴x=6,即AP=6.
综上所述,AP的长为2或6.