8.(2024·阜宁期中)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AB=5cm,AC=3cm$,动点 P 从点 B 出发,沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度移动.设移动的时间为 t s,当$t=$
2或$\frac{25}{8}$
时,$△ABP$为直角三角形.答案：2或$\frac{25}{8}$
9.在$△ABC$中,$AB=15,AC=13$,高$AD=12$,则 BC 的长为
14或4
.答案：14或4
10.(2024·玄武区期末)如图,在四边形 ABCD 中,$∠BAD=∠DCB=90^{\circ }$,E,F 分别是 BD,AC 的中点,$∠ADC=120^{\circ },EF=1$,则$AF=$
$\sqrt{3}$
.答案：$\sqrt{3}$
11.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.请你求出旗杆的高度.(滑轮上方的部分忽略不计)
解:设旗杆的高度为xm,则AC = AD = xm,AB = (x - 2)m,BC = 8m,在Rt△ABC中,AB² + BC² = AC²,即(x - 2)² + 8² = x²,解得x =
解:设旗杆的高度为xm,则AC = AD = xm,AB = (x - 2)m,BC = 8m,在Rt△ABC中,AB² + BC² = AC²,即(x - 2)² + 8² = x²,解得x =
17
,即旗杆的高度为17m.答案：解:设旗杆的高度为xm,则AC = AD = xm,AB = (x - 2)m,BC = 8m,在Rt△ABC中,AB² + BC² = AC²,即(x - 2)² + 8² = x²,解得x = 17,即旗杆的高度为17m.
12.(2024秋·南京期中)在$△ABC$中,$BC=a,AC=b,AB=c$.如图①,当$∠C=90^{\circ }$时,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(1)如图②,当$∠C＜90^{\circ }$时,小明猜想$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$,理由如下:
过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D,设$CD=x$……请补全小明的证明过程;
(2)如图③,当$∠C＞90^{\circ }$时,猜想$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系,并证明你的猜想.
(1)如图②,当$∠C＜90^{\circ }$时,小明猜想$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$,理由如下:
过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D,设$CD=x$……请补全小明的证明过程;
(2)如图③,当$∠C＞90^{\circ }$时,猜想$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系,并证明你的猜想.
答案：
解:(1)设CD = x,则BD = a - x.
∵AD⊥BC,∴AD² = b² - x²,AD² = c² - (a - x)²,
则b² - x² = c² - (a - x)²,∴a² + b² = c² + 2ax.
∵a＞0,x＞0,∴2ax＞0,∴a² + b²＞c²,
∴当△ABC为锐角三角形时,a² + b²＞c².
(2)当△ABC为钝角三角形时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b²＜c².
证明:如答图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD = x.∵AD⊥BD,∴AD² = AC² - DC² = b² - x²,
AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴b² - x² = c² - (a + x)²,即a² + b² = c² - 2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴2ax＞0,∴a² + b² = c² - 2ax＜c².
即当△ABC为钝角三角形时,a² + b²＜c².
解:(1)设CD = x,则BD = a - x.
∵AD⊥BC,∴AD² = b² - x²,AD² = c² - (a - x)²,
则b² - x² = c² - (a - x)²,∴a² + b² = c² + 2ax.
∵a＞0,x＞0,∴2ax＞0,∴a² + b²＞c²,
∴当△ABC为锐角三角形时,a² + b²＞c².
(2)当△ABC为钝角三角形时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b²＜c².
证明:如答图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD = x.∵AD⊥BD,∴AD² = AC² - DC² = b² - x²,
AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴b² - x² = c² - (a + x)²,即a² + b² = c² - 2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴2ax＞0,∴a² + b² = c² - 2ax＜c².
即当△ABC为钝角三角形时,a² + b²＜c².