11. (2023 春·通州区期末)已知点 $ P(3m + 6,m - 3) $.请分别根据下列条件,求出点 $ P $的坐标.
(1)点 $ P $在 $ x $轴上;
(2)点 $ P $的纵坐标比横坐标大 5;
(3)点 $ P $在过点 $ A(3,-2) $且与 $ y $轴平行的直线上.
(1)点 $ P $在 $ x $轴上;
(2)点 $ P $的纵坐标比横坐标大 5;
(3)点 $ P $在过点 $ A(3,-2) $且与 $ y $轴平行的直线上.
答案：11.解：(1) $ \because $ 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的纵坐标为 $ 0 $，即 $ m - 3 = 0 $，得 $ m = 3 $，
$ \therefore 3m + 6 = 9 + 6 = 15 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (15,0) $。
(2) $ \because $ 点 $ P $ 的纵坐标比横坐标大 $ 5 $，
$ \therefore m - 3 - 5 = 3m + 6 $，解得 $ m = -7 $，
$ \therefore 3m + 6 = -15 $，$ m - 3 = -10 $，
故点 $ P $ 的坐标为 $ (-15,-10) $。
(3) 由题意可知 $AP // y$ 轴，
$ \therefore $ 点 $ A $ 和点 $ P $ 的横坐标相同，即 $ 3m + 6 = 3 $，得 $ m = -1 $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (3,-4) $。
$ \therefore $ 点 $ P $ 的纵坐标为 $ 0 $，即 $ m - 3 = 0 $，得 $ m = 3 $，
$ \therefore 3m + 6 = 9 + 6 = 15 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (15,0) $。
(2) $ \because $ 点 $ P $ 的纵坐标比横坐标大 $ 5 $，
$ \therefore m - 3 - 5 = 3m + 6 $，解得 $ m = -7 $，
$ \therefore 3m + 6 = -15 $，$ m - 3 = -10 $，
故点 $ P $ 的坐标为 $ (-15,-10) $。
(3) 由题意可知 $AP // y$ 轴，
$ \therefore $ 点 $ A $ 和点 $ P $ 的横坐标相同，即 $ 3m + 6 = 3 $，得 $ m = -1 $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (3,-4) $。
12. 先阅读文字,再回答问题. 已知平面内两个点分别为 $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $,其两点间距离公式为 $ P_1P_2 = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $. 当两点所在的直线在坐标轴上或平行于 $ x $轴或平行于 $ y $轴时,两点间的距离公式可简化成 $ P_1P_2 = |x_1 - x_2| $或 $ P_1P_2 = |y_1 - y_2| $.
(1)已知 $ A,B $两点在平行于 $ y $轴的直线上,点 $ A $的纵坐标为 5,点 $ B $的纵坐标为 2,则 $ A,B $两点间的距离为______
(2)线段 $ AB $平行于 $ x $轴,且 $ AB = 3 $,若点 $ B $的坐标为 $ (2,4) $,则点 $ A $的坐标是______
(3)已知 $ \triangle ABC $三个顶点的坐标分别为 $ A(3,4),B(0,5),C(-1,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由.
解：$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。理由如下：
$ \because A(3,4) $，$ B(0,5) $，$ C(-1,2) $，
$ \therefore AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{10} $，
$ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{20} $，
$ BC = \sqrt{(0 + 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{10} $，
$ \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2 $，且 $ AB = BC $，
$ \therefore \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。
(1)已知 $ A,B $两点在平行于 $ y $轴的直线上,点 $ A $的纵坐标为 5,点 $ B $的纵坐标为 2,则 $ A,B $两点间的距离为______
3
;(2)线段 $ AB $平行于 $ x $轴,且 $ AB = 3 $,若点 $ B $的坐标为 $ (2,4) $,则点 $ A $的坐标是______
$ (-1,4) $ 或 $ (5,4) $
;(3)已知 $ \triangle ABC $三个顶点的坐标分别为 $ A(3,4),B(0,5),C(-1,2) $,请判断此三角形的形状,并说明理由.
解：$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。理由如下：
$ \because A(3,4) $，$ B(0,5) $，$ C(-1,2) $，
$ \therefore AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{10} $，
$ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{20} $，
$ BC = \sqrt{(0 + 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{10} $，
$ \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2 $，且 $ AB = BC $，
$ \therefore \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。
答案：12. (1) 3
(2) $ (-1,4) $ 或 $ (5,4) $
(3) 解：$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。理由如下：
$ \because A(3,4) $，$ B(0,5) $，$ C(-1,2) $，
$ \therefore AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{10} $，
$ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{20} $，
$ BC = \sqrt{(0 + 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{10} $，
$ \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2 $，且 $ AB = BC $，
$ \therefore \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。
(2) $ (-1,4) $ 或 $ (5,4) $
(3) 解：$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。理由如下：
$ \because A(3,4) $，$ B(0,5) $，$ C(-1,2) $，
$ \therefore AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{10} $，
$ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{20} $，
$ BC = \sqrt{(0 + 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{10} $，
$ \therefore AB^2 + BC^2 = AC^2 $，且 $ AB = BC $，
$ \therefore \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。
13. 如图,在平面直角坐标系中,已知 $ A(0,a),B(b,0) $,其中 $ a,b $满足 $ |a - 2| + (b - 3)^2 = 0 $.
(1)$ a = $
(2)如果在第二象限内有一点 $ M(m,1) $,请用含 $ m $的式子表示四边形 $ ABOM $的面积;
(3)在(2)的条件下,当 $ m = -\frac{3}{2} $时,在坐标轴的负半轴上找一点 $ N $,使得 $ \triangle ABN $的面积与四边形 $ ABOM $的面积相等,求点 $ N $的坐标.
(1)$ a = $
2
,$ b = $3
;(2)如果在第二象限内有一点 $ M(m,1) $,请用含 $ m $的式子表示四边形 $ ABOM $的面积;
(3)在(2)的条件下,当 $ m = -\frac{3}{2} $时,在坐标轴的负半轴上找一点 $ N $,使得 $ \triangle ABN $的面积与四边形 $ ABOM $的面积相等,求点 $ N $的坐标.
答案：13. (1) 2 3
(2) 解：$ \because $ 在第二象限内有一点 $ M(m,1) $，
$ \therefore S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2}AO \cdot (-m) = -m $，
又 $ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AO \cdot OB = 3 $，
$ \therefore $ 四边形 $ ABOM $ 的面积为 $ 3 - m $。
(3) 解：当点 $ N $ 在 $ x $ 轴的负半轴上时，设点 $ N $ 的坐标为 $ (c,0) $，
则 $ \frac{1}{2} \times (3 - c) \times 2 = 3 - (-\frac{3}{2}) $，解得 $ c = -\frac{3}{2} $，
故 $ N(-\frac{3}{2},0) $；
当点 $ N $ 在 $ y $ 轴的负半轴上时，设点 $ N $ 的坐标为 $ (0,d) $，
则 $ \frac{1}{2} \times (2 - d) \times 3 = 3 - (-\frac{3}{2}) $，解得 $ d = -1 $，
故 $ N(0,-1) $。
综上所述，点 $ N $ 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},0) $ 或 $ (0,-1) $。
(2) 解：$ \because $ 在第二象限内有一点 $ M(m,1) $，
$ \therefore S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2}AO \cdot (-m) = -m $，
又 $ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AO \cdot OB = 3 $，
$ \therefore $ 四边形 $ ABOM $ 的面积为 $ 3 - m $。
(3) 解：当点 $ N $ 在 $ x $ 轴的负半轴上时，设点 $ N $ 的坐标为 $ (c,0) $，
则 $ \frac{1}{2} \times (3 - c) \times 2 = 3 - (-\frac{3}{2}) $，解得 $ c = -\frac{3}{2} $，
故 $ N(-\frac{3}{2},0) $；
当点 $ N $ 在 $ y $ 轴的负半轴上时，设点 $ N $ 的坐标为 $ (0,d) $，
则 $ \frac{1}{2} \times (2 - d) \times 3 = 3 - (-\frac{3}{2}) $，解得 $ d = -1 $，
故 $ N(0,-1) $。
综上所述，点 $ N $ 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},0) $ 或 $ (0,-1) $。