9. 已知点$M(3,2)$与点$N(x,y)$在同一条垂直于$x$轴的直线上,且点$N$到$x$轴的距离为5,那么点$N$的坐标是
$(3,5)$或$(3,-5)$
.答案：$(3,5)$或$(3,-5)$
10. 如图,等边$\triangle ABC$的边$AB$垂直于$x$轴,点$C$在$x$轴上.已知点$A(2,2)$,求点$C$的坐标.
点C的坐标为
点C的坐标为
$(2 - 2\sqrt{3},0)$
.答案：解:设$AB⊥x$轴于点D.∵$\triangle ABC$是等边三角形,
∴$∠ACD = 30^{\circ}$.
∵点$A(2,2)$,∴$AD = OD = 2$,∴$CD = 2\sqrt{3}$,
∴$OC = 2\sqrt{3} - 2$,∴点C的坐标为$(2 - 2\sqrt{3},0)$.
∴$∠ACD = 30^{\circ}$.
∵点$A(2,2)$,∴$AD = OD = 2$,∴$CD = 2\sqrt{3}$,
∴$OC = 2\sqrt{3} - 2$,∴点C的坐标为$(2 - 2\sqrt{3},0)$.
11. 如图,已知点$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,点$A,B$分别在$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上,$∠BPA=90^{\circ}$.
(1)求点$P$的坐标;
(2)若点$B$为$(0,2)$,求点$A$的坐标.
(1)求点$P$的坐标;
(2)若点$B$为$(0,2)$,求点$A$的坐标.
答案：
解: (1)∵点$P(4m + 7,2m + 5)$在第一象限的角平分线上,
∴$4m + 7 = 2m + 5$,
∴$m = -1$,∴$P(3,3)$.
(2)如答图,过点P分别作$PD⊥x$轴于点D,作$PC⊥y$轴于点C,
∴$PC = PD,∠PCO = ∠PDO = ∠COD = 90^{\circ}$,
∴$∠CPD = 90^{\circ}$,∴$∠CPB + ∠BPD = 90^{\circ}$.
∵$∠BPA = 90^{\circ}$,∴$∠BPD + ∠APD = 90^{\circ}$,
∴$∠APD = ∠CPB$,又∵$CP = PD$,
∴$\triangle CPB≌\triangle DPA(ASA)$,∴$BC = DA$,
∵$B(0,2),P(3,3)$,∴$OB = 2$,$OC = 3$,∴$BC = 1 = DA$,
∴$OA = 1 + 3 = 4$,∴$A(4,0)$.
解: (1)∵点$P(4m + 7,2m + 5)$在第一象限的角平分线上,
∴$4m + 7 = 2m + 5$,
∴$m = -1$,∴$P(3,3)$.
(2)如答图,过点P分别作$PD⊥x$轴于点D,作$PC⊥y$轴于点C,
∴$PC = PD,∠PCO = ∠PDO = ∠COD = 90^{\circ}$,
∴$∠CPD = 90^{\circ}$,∴$∠CPB + ∠BPD = 90^{\circ}$.
∵$∠BPA = 90^{\circ}$,∴$∠BPD + ∠APD = 90^{\circ}$,
∴$∠APD = ∠CPB$,又∵$CP = PD$,
∴$\triangle CPB≌\triangle DPA(ASA)$,∴$BC = DA$,
∵$B(0,2),P(3,3)$,∴$OB = 2$,$OC = 3$,∴$BC = 1 = DA$,
∴$OA = 1 + 3 = 4$,∴$A(4,0)$.
12. (2023春·海门月考)我们规定:若$a^{2}+b^{2}=nab$,就称$(a,b)$为“$n$倍理想坐标”. 例如,因为$1^{2}+(-1)^{2}=(-2)×1×(-1)$,所以称$(1,-1)$为-2倍理想坐标;因为$1^{2}+2^{2}=2.5×1×2$,所以称$(1,2)$为2.5倍理想坐标.根据材料,解答下列问题:
(1)$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
(2)当$(a,b)$在坐标轴上时,若$(a,b)$为$n$倍理想坐标,求$(a,b)$,并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置.
(3)若$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),求$(a,b)$是几倍理想坐标.
(1)$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
是
2倍理想坐标(填“是”或“不是”);$(2,3)$是$\frac{13}{6}$
倍理想坐标.(2)当$(a,b)$在坐标轴上时,若$(a,b)$为$n$倍理想坐标,求$(a,b)$,并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置.
(3)若$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),求$(a,b)$是几倍理想坐标.
答案：(1)是 $\frac{13}{6}$
(2)解:当$(a,b)$在坐标轴上时,$a = 0$或$b = 0$,∴$ab = 0$,
∵$(a,b)$为n倍理想坐标,∴$a^{2} + b^{2} = nab = 0$,
∴$a = 0$且$b = 0$,
∴$(a,b)$为$(0,0)$,它是平面直角坐标系中的原点.
(3)解:∵$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),
∴$a = \pm b \neq 0$.
分两种情况:
①当$(a,b)$是第一、三象限角平分线上的点(原点除外)时,$a = b$,
∵$a^{2} + b^{2} = 2a^{2} = 2a \cdot a = 2ab$,∴$(a,b)$是2倍理想坐标;
②当$(a,b)$是第二、四象限角平分线上的点(原点除外)时,$a = -b$,
∵$a^{2} + b^{2} = 2a^{2} = 2a \cdot (-b) = -2ab$,
∴$(a,b)$是 - 2倍理想坐标.
综上所述,$(a,b)$是2倍或 - 2倍理想坐标.
(2)解:当$(a,b)$在坐标轴上时,$a = 0$或$b = 0$,∴$ab = 0$,
∵$(a,b)$为n倍理想坐标,∴$a^{2} + b^{2} = nab = 0$,
∴$a = 0$且$b = 0$,
∴$(a,b)$为$(0,0)$,它是平面直角坐标系中的原点.
(3)解:∵$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),
∴$a = \pm b \neq 0$.
分两种情况:
①当$(a,b)$是第一、三象限角平分线上的点(原点除外)时,$a = b$,
∵$a^{2} + b^{2} = 2a^{2} = 2a \cdot a = 2ab$,∴$(a,b)$是2倍理想坐标;
②当$(a,b)$是第二、四象限角平分线上的点(原点除外)时,$a = -b$,
∵$a^{2} + b^{2} = 2a^{2} = 2a \cdot (-b) = -2ab$,
∴$(a,b)$是 - 2倍理想坐标.
综上所述,$(a,b)$是2倍或 - 2倍理想坐标.