10. 在平面直角坐标系$xOy$中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知点$A(0,4)$,点$B$是$x$轴正半轴上的点,且点$B$的横坐标为$n$($n$为正整数),记$△AOB$内部(不包括边界)的整点个数为$m$.当$n=12$时,$m$的值为
15
;当$n=2022$时,$m$的值为3031
.答案：15 3031
11. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中,$△ABC$的顶点$A$的坐标为$(-2,1)$,顶点$B$的坐标为$(-1,2)$.
(1)在网格图中画出两条坐标轴,并标出坐标原点;
(2)作$△A'B'C'$关于$x$轴对称的图形$△A''B''C''$;
(3)连接$BB'$,求$BB''$的长.
(1)在网格图中画出两条坐标轴,并标出坐标原点;
(2)作$△A'B'C'$关于$x$轴对称的图形$△A''B''C''$;
(3)连接$BB'$,求$BB''$的长.
答案：
解: (1) 如答图.
(2) 画出$\triangle A''B''C''$如答图.
(3) $BB''=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
解: (1) 如答图.
(2) 画出$\triangle A''B''C''$如答图.
(3) $BB''=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
12. (2024·泰兴期中)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点$P$到$x$轴、$y$轴的距离的较大值称为点$P$的“长距”,点$Q$到$x$轴、$y$轴的距离相等时,称点$Q$为“完美点”.
(1)点$A(-1,3)$的“长距”为______
(2)若点$B(4a-1,-3)$是“完美点”,求$a$的值;
解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a =$
(3)若点$C(-2,3b-2)$的长距为4,且点$C$在第二象限内,点$D$的坐标为$(9-2b,-5)$,试说明:点$D$是“完美点”.
解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 =$
$\therefore$ 点$D$的坐标为(
$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.
(1)点$A(-1,3)$的“长距”为______
3
;(2)若点$B(4a-1,-3)$是“完美点”,求$a$的值;
解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a =$
1
或$a =$$-\frac{1}{2}$
.(3)若点$C(-2,3b-2)$的长距为4,且点$C$在第二象限内,点$D$的坐标为$(9-2b,-5)$,试说明:点$D$是“完美点”.
解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 =$
4
，解得$b =$2
，$\therefore 9 - 2b =$5
，$\therefore$ 点$D$的坐标为(
5
,-5
)，$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.
答案：(1) 3
(2) 解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a = 1$或$a = -\frac{1}{2}$.
(3) 解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 = 4$，解得$b = 2$，$\therefore 9 - 2b = 5$，
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(5,-5)$，
$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.
(2) 解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a = 1$或$a = -\frac{1}{2}$.
(3) 解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 = 4$，解得$b = 2$，$\therefore 9 - 2b = 5$，
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(5,-5)$，
$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.
13. 在平原上有一条笔直的公路,在公路同侧有$A,B$两个村庄.以公路所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系,如图.已知$A,B$两个村庄的坐标分别为$(2,2),(7,4)$,一辆汽车(看成点$P$)在公路($x$轴)上行驶.
(1)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之差最大为多少?
(1)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之差最大为多少?
答案：
解: (1) 如答图①，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-2)$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，则$A'B$的长即为汽车到$A$，$B$两村距离之和的最小值.
$\because B(7,4)$，$\therefore A'B = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 + 2)^{2}} = \sqrt{61}$.
(2) 如答图②，当点$P$为$BA$的延长线与$x$轴的交点时，汽车到$A$，$B$两村距离之差最大，
$AB = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 - 2)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.
解: (1) 如答图①，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-2)$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，则$A'B$的长即为汽车到$A$，$B$两村距离之和的最小值.
$\because B(7,4)$，$\therefore A'B = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 + 2)^{2}} = \sqrt{61}$.
(2) 如答图②，当点$P$为$BA$的延长线与$x$轴的交点时，汽车到$A$，$B$两村距离之差最大，
$AB = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 - 2)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.