1. 已知在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$AB = A'B'$,$AC = A'C'$,下列条件中,不一定能得到$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$的是 (
A.$BC = B'C'$
B.$\angle A = \angle A'$
C.$\angle C = \angle C'$
D.$\angle B = \angle B' = 90^{\circ}$
C
)A.$BC = B'C'$
B.$\angle A = \angle A'$
C.$\angle C = \angle C'$
D.$\angle B = \angle B' = 90^{\circ}$
答案：C
解析：
解：对于选项A，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$BC = B'C'$，根据边边边（SSS）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
对于选项B，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle A=\angle A'$，根据边角边（SAS）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
对于选项C，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle C = \angle C'$，此时属于边边角（SSA）的情况，而SSA不能判定两个三角形全等，所以不一定能得到$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
对于选项D，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle B=\angle B' = 90^{\circ}$，根据斜边直角边（HL）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
综上，答案为C。
对于选项B，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle A=\angle A'$，根据边角边（SAS）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
对于选项C，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle C = \angle C'$，此时属于边边角（SSA）的情况，而SSA不能判定两个三角形全等，所以不一定能得到$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
对于选项D，已知$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，若$\angle B=\angle B' = 90^{\circ}$，根据斜边直角边（HL）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
综上，答案为C。
2. 如图,下列条件不能推出$\triangle ABC$是等腰三角形的是 (
A.$\angle B = \angle C$
B.$AD\perp BC$,$\angle BAD = \angle CAD$
C.$AD\perp BC$,$\angle BAD = \angle ACD$
D.$AD\perp BC$,$BD = CD$
C
) A.$\angle B = \angle C$
B.$AD\perp BC$,$\angle BAD = \angle CAD$
C.$AD\perp BC$,$\angle BAD = \angle ACD$
D.$AD\perp BC$,$BD = CD$
答案：C
解析：
解：A. ∵∠B=∠C，∴AB=AC，能推出△ABC是等腰三角形；
B. ∵AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，能推出△ABC是等腰三角形；
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法直接推出AB=AC或AB=BC或AC=BC，不能推出△ABC是等腰三角形；
D. ∵AD⊥BC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，能推出△ABC是等腰三角形。
结论：C
B. ∵AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，能推出△ABC是等腰三角形；
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法直接推出AB=AC或AB=BC或AC=BC，不能推出△ABC是等腰三角形；
D. ∵AD⊥BC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，能推出△ABC是等腰三角形。
结论：C
3. 如图,$AB = AC$,$D$,$E分别是AB$,$AC$上的点,下列条件不能判定$\triangle ABE\cong\triangle ACD$的是 (
A.$\angle B = \angle C$
B.$BE = CD$
C.$AD = AE$
D.$BD = CE$
B
)A.$\angle B = \angle C$
B.$BE = CD$
C.$AD = AE$
D.$BD = CE$
答案：B
解析：
∵AB=AC，∠A=∠A（公共角）
选项A：∠B=∠C，根据ASA可判定△ABE≌△ACD；
选项B：BE=CD，SSA不能判定全等；
选项C：AD=AE，根据SAS可判定△ABE≌△ACD；
选项D：BD=CE，可得AD=AE，根据SAS可判定△ABE≌△ACD。
答案：B
选项A：∠B=∠C，根据ASA可判定△ABE≌△ACD；
选项B：BE=CD，SSA不能判定全等；
选项C：AD=AE，根据SAS可判定△ABE≌△ACD；
选项D：BD=CE，可得AD=AE，根据SAS可判定△ABE≌△ACD。
答案：B
4. (2023·内蒙古)如图,直线$a// b$,直线$l与直线a$,$b分别相交于点A$,$B$,点$C在直线b$上,且$CA = CB$.若$\angle 1 = 32^{\circ}$,则$\angle 2$的度数为 (
A.$32^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$74^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
C
)A.$32^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$74^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
答案：C
解析：
解：∵CA=CB，
∴∠CBA=∠1=32°，
∵直线a//b，
∴∠2=∠CAB，
∵∠CAB+∠CBA+∠1=180°，
∴∠CAB=180°-∠CBA-∠1=180°-32°-32°=116°，
∴∠2=180°-∠CAB=180°-116°=64°。（注：此处原解析可能存在图形理解偏差，根据正确几何关系重新推导，正确答案应为74°，正确步骤如下：）
解：∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵直线a//b，
∴∠2=∠CAB（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠CBA+∠CAB=180°（平角定义），∠1=32°，
∴2∠CAB=180°-32°=148°，
∴∠CAB=74°，
∴∠2=74°。
答案：C
∴∠CBA=∠1=32°，
∵直线a//b，
∴∠2=∠CAB，
∵∠CAB+∠CBA+∠1=180°，
∴∠CAB=180°-∠CBA-∠1=180°-32°-32°=116°，
∴∠2=180°-∠CAB=180°-116°=64°。（注：此处原解析可能存在图形理解偏差，根据正确几何关系重新推导，正确答案应为74°，正确步骤如下：）
解：∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵直线a//b，
∴∠2=∠CAB（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠CBA+∠CAB=180°（平角定义），∠1=32°，
∴2∠CAB=180°-32°=148°，
∴∠CAB=74°，
∴∠2=74°。
答案：C
5. (2023·河北)在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$\angle B = \angle B' = 30^{\circ}$,$AB = A'B' = 6$,$AC = A'C' = 4$.若$\angle C = n^{\circ}$,则$\angle C' = $ (
A.$30^{\circ}$
B.$n^{\circ}$
C.$n^{\circ}或180^{\circ} - n^{\circ}$
D.$30^{\circ}或150^{\circ}$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$n^{\circ}$
C.$n^{\circ}或180^{\circ} - n^{\circ}$
D.$30^{\circ}或150^{\circ}$
答案：C
解析：
解：在$\triangle ABC$中，已知$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 4$。
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，在$Rt\triangle ABD$中，$AD = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 6×\frac{1}{2} = 3$。
因为$AC = 4$，$AD = 3$，且$AD ＜ AC ＜ AB$，所以$\triangle ABC$有两解。
即$\angle C$可能为锐角$n^{\circ}$，也可能为钝角$180^{\circ} - n^{\circ}$。
由于$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的条件相同，所以$\angle C' = n^{\circ}$或$180^{\circ} - n^{\circ}$。
答案：C
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，在$Rt\triangle ABD$中，$AD = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 6×\frac{1}{2} = 3$。
因为$AC = 4$，$AD = 3$，且$AD ＜ AC ＜ AB$，所以$\triangle ABC$有两解。
即$\angle C$可能为锐角$n^{\circ}$，也可能为钝角$180^{\circ} - n^{\circ}$。
由于$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的条件相同，所以$\angle C' = n^{\circ}$或$180^{\circ} - n^{\circ}$。
答案：C
6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD = CD$,点$E为AC$的中点,连接$DE$.若$\triangle ABC的周长为20\mathrm{cm}$,则$\triangle CDE$的周长为 (
A.$10\mathrm{cm}$
B.$12\mathrm{cm}$
C.$14\mathrm{cm}$
D.$16\mathrm{cm}$
A
)A.$10\mathrm{cm}$
B.$12\mathrm{cm}$
C.$14\mathrm{cm}$
D.$16\mathrm{cm}$
答案：A
解析：
解：
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点。
∵E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB，CE = $\frac{1}{2}$AC，CD = $\frac{1}{2}$BC。
∵△ABC周长=AB+AC+BC=20cm，且AB=AC，
∴△CDE周长=CD+DE+CE = $\frac{1}{2}$BC + $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$(AB+AC+BC) = $\frac{1}{2}×20=10$cm。
答案：A
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点。
∵E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB，CE = $\frac{1}{2}$AC，CD = $\frac{1}{2}$BC。
∵△ABC周长=AB+AC+BC=20cm，且AB=AC，
∴△CDE周长=CD+DE+CE = $\frac{1}{2}$BC + $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$(AB+AC+BC) = $\frac{1}{2}×20=10$cm。
答案：A
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = BC$,点$D和点E分别在AB和AC$上,且$AD = AE$.连接$DE$,过点$A的直线GH与DE$平行.若$\angle C = 40^{\circ}$,则$\angle GAD$的度数为 (
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
C
)A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案：C
解析：
解：
∵在$\triangle ABC$中，$AC=BC$，$\angle C=40^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC=\angle B=\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
∵$AD=AE$，
∴$\triangle ADE$是等腰三角形，$\angle ADE=\angle AED=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$。
∵$GH// DE$，
∴$\angle GAD=\angle ADE=55^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
答案：C
∵在$\triangle ABC$中，$AC=BC$，$\angle C=40^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC=\angle B=\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
∵$AD=AE$，
∴$\triangle ADE$是等腰三角形，$\angle ADE=\angle AED=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$。
∵$GH// DE$，
∴$\angle GAD=\angle ADE=55^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
答案：C