8. 如图,$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M是BC$的中点,$DM平分\angle ADC$,且$\angle ADC = 110^{\circ}$,则$\angle MAB$的度数是 (
A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案：B
解析：
解：过点M作ME⊥AD于点E。
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵M是BC中点，∴MC=MB，∴ME=MB。
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
∵∠B=∠C=90°，∴AB//CD，∠BAD+∠ADC=180°。
∵∠ADC=110°，∴∠BAD=180°-110°=70°。
∵AM平分∠DAB，∴∠MAB=∠BAD/2=70°/2=35°。
答案：B
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵M是BC中点，∴MC=MB，∴ME=MB。
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
∵∠B=∠C=90°，∴AB//CD，∠BAD+∠ADC=180°。
∵∠ADC=110°，∴∠BAD=180°-110°=70°。
∵AM平分∠DAB，∴∠MAB=∠BAD/2=70°/2=35°。
答案：B
9. 如图,三角形纸片$ABC$中,$\angle B = 2\angle C$,把三角形纸片沿直线$AD$折叠,点$B落在AC边上的点E$处,那么下列等式成立的是 (
A.$AC = AD + BD$
B.$AC = AB + BD$
C.$AC = AD + CD$
D.$AC = AB + CD$
B
)A.$AC = AD + BD$
B.$AC = AB + BD$
C.$AC = AD + CD$
D.$AC = AB + CD$
答案：B
解析：
解：由折叠性质得：AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED。
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C。
∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC。
∵BD=DE，∴BD=EC。
∵AC=AE+EC，AE=AB，EC=BD，∴AC=AB+BD。
答案：B
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C。
∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC。
∵BD=DE，∴BD=EC。
∵AC=AE+EC，AE=AB，EC=BD，∴AC=AB+BD。
答案：B
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 50^{\circ}$,$CD\perp AB于点D$,$\angle BCD和\angle BDC的平分线相交于点E$,$F为边AC$的中点,$CD = CF$,则$\angle ACD + \angle CED = $ (
A.$125^{\circ}$
B.$145^{\circ}$
C.$175^{\circ}$
D.$190^{\circ}$
C
)A.$125^{\circ}$
B.$145^{\circ}$
C.$175^{\circ}$
D.$190^{\circ}$
答案：C
解析：
解：
∵$CD\perp AB$，$\angle B=50^\circ$，
∴$\angle BCD=90^\circ-50^\circ=40^\circ$，$\angle BDC=90^\circ$。
∵$CE$平分$\angle BCD$，$DE$平分$\angle BDC$，
∴$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle BCD=20^\circ$，$\angle CDE=\frac{1}{2}\angle BDC=45^\circ$。
在$\triangle CDE$中，$\angle CED=180^\circ-\angle DCE-\angle CDE=180^\circ-20^\circ-45^\circ=115^\circ$。
∵$F$为$AC$中点，$CD=CF$，设$CD=CF=AF=x$，则$AC=2x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\cos\angle ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle ACD=60^\circ$。
∴$\angle ACD+\angle CED=60^\circ+115^\circ=175^\circ$。
答案：C
∵$CD\perp AB$，$\angle B=50^\circ$，
∴$\angle BCD=90^\circ-50^\circ=40^\circ$，$\angle BDC=90^\circ$。
∵$CE$平分$\angle BCD$，$DE$平分$\angle BDC$，
∴$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle BCD=20^\circ$，$\angle CDE=\frac{1}{2}\angle BDC=45^\circ$。
在$\triangle CDE$中，$\angle CED=180^\circ-\angle DCE-\angle CDE=180^\circ-20^\circ-45^\circ=115^\circ$。
∵$F$为$AC$中点，$CD=CF$，设$CD=CF=AF=x$，则$AC=2x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\cos\angle ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle ACD=60^\circ$。
∴$\angle ACD+\angle CED=60^\circ+115^\circ=175^\circ$。
答案：C
11. 一个三角形的三边长分别为$6$,$10$,$x$,另一个三角形的三边长分别为$y$,$6$,$12$,如果这两个三角形全等,那么$x + y = $______
22
.答案：22
解析：
解：因为两个三角形全等，全等三角形的对应边相等。
第一个三角形的三边长为6，10，x；第二个三角形的三边长为y，6，12。
两个三角形中都有边6，所以6是对应边。
则剩余边对应相等，即x=12，y=10。
所以x+y=12+10=22。
22
第一个三角形的三边长为6，10，x；第二个三角形的三边长为y，6，12。
两个三角形中都有边6，所以6是对应边。
则剩余边对应相等，即x=12，y=10。
所以x+y=12+10=22。
22
12. 如图,在等腰$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D是AC$的中点,过点$A作直线BD的垂线交BC的延长线于点E$.若$BC = 4$,则$CE$的长为______
2
.答案：2
解析：
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=4，
∴AC=BC=4，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACE=90°。
∵D是AC中点，
∴AD=DC=2。
设CE=x，则BE=BC+CE=4+x。
∵AE⊥BD，
∴∠AFD=90°（F为AE与BD交点），
∴∠DAF+∠ADF=90°。
又∠CBD+∠CDB=90°，∠ADF=∠CDB，
∴∠DAF=∠CBD。
在△ACE和△BCD中，
∠ACE=∠BCD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴△ACE∽△BCD。
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{4}{4}$，
解得x=2。
∴CE=2。
答案：2
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=4，
∴AC=BC=4，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACE=90°。
∵D是AC中点，
∴AD=DC=2。
设CE=x，则BE=BC+CE=4+x。
∵AE⊥BD，
∴∠AFD=90°（F为AE与BD交点），
∴∠DAF+∠ADF=90°。
又∠CBD+∠CDB=90°，∠ADF=∠CDB，
∴∠DAF=∠CBD。
在△ACE和△BCD中，
∠ACE=∠BCD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴△ACE∽△BCD。
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{4}{4}$，
解得x=2。
∴CE=2。
答案：2
13. 如图,$\triangle AOD\cong\triangle BOC$,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle C = 50^{\circ}$,$\angle AOC = 150^{\circ}$,则$\angle COD = $
50
$^{\circ}$.答案：50
14. 如图,在$\triangle ABD$中,$C是边BD$上一点.若$AB = AC = CD$,$\angle BAC = 40^{\circ}$,则$\angle D = $
35
$^{\circ}$.答案：35
解析：
解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°
∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°
∠ACD=180°-∠ACB=110°
∵AC=CD
∴∠CAD=∠D=(180°-110°)/2=35°
35
∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°
∠ACD=180°-∠ACB=110°
∵AC=CD
∴∠CAD=∠D=(180°-110°)/2=35°
35
15. (2023春·射阳期末)如图,$D$,$E是\triangle ABC中BC$边上的两点,$DM$,$EN分别垂直平分AB$,$AC$,垂足分别为$M$,$N$.若$\angle DAE = 58^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为______
$119^{\circ}$
.答案：$119^{\circ}$
解析：
解：连接AD，AE。
因为DM垂直平分AB，所以AD=BD，故∠BAD=∠B。
同理，EN垂直平分AC，所以AE=CE，故∠CAE=∠C。
设∠BAD=∠B=x，∠CAE=∠C=y。
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=x+58°+y。
又因为∠BAC+∠B+∠C=180°，即(x+58°+y)+x+y=180°，
化简得2(x+y)=122°，所以x+y=61°。
则∠BAC=61°+58°=119°。
119°
因为DM垂直平分AB，所以AD=BD，故∠BAD=∠B。
同理，EN垂直平分AC，所以AE=CE，故∠CAE=∠C。
设∠BAD=∠B=x，∠CAE=∠C=y。
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=x+58°+y。
又因为∠BAC+∠B+∠C=180°，即(x+58°+y)+x+y=180°，
化简得2(x+y)=122°，所以x+y=61°。
则∠BAC=61°+58°=119°。
119°
16. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的$2$倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰$\triangle ABC$是“倍长三角形”,底边$BC的长为3$,则腰$AB$的长为
6
.答案：6
解析：
解：因为等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC=3，所以分两种情况讨论：
情况一：腰AB是底边BC的2倍。
则AB=2×BC=2×3=6。
此时三边长分别为6，6，3。
因为6+3＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，所以成立。
情况二：底边BC是腰AB的2倍。
则BC=2×AB，即3=2×AB，解得AB=1.5。
此时三边长分别为1.5，1.5，3。
因为1.5+1.5=3，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不成立。
综上，腰AB的长为6。
答案：6
情况一：腰AB是底边BC的2倍。
则AB=2×BC=2×3=6。
此时三边长分别为6，6，3。
因为6+3＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，所以成立。
情况二：底边BC是腰AB的2倍。
则BC=2×AB，即3=2×AB，解得AB=1.5。
此时三边长分别为1.5，1.5，3。
因为1.5+1.5=3，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不成立。
综上，腰AB的长为6。
答案：6
17. (2024·重庆)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD平分\angle ABC交AC于点D$.若$BC = 2$,则$AD$的长度为______
2
.答案：2
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
$\therefore \angle BDC=180^{\circ}-\angle CBD-\angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$，
$\angle A=\angle ABD=36^{\circ}$，$\angle BDC=\angle C=72^{\circ}$。
$\therefore AD=BD$，$BD=BC$。
$\because BC=2$，
$\therefore AD=BD=BC=2$。
答案：$2$
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
$\therefore \angle BDC=180^{\circ}-\angle CBD-\angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$，
$\angle A=\angle ABD=36^{\circ}$，$\angle BDC=\angle C=72^{\circ}$。
$\therefore AD=BD$，$BD=BC$。
$\because BC=2$，
$\therefore AD=BD=BC=2$。
答案：$2$
18. 如图,过边长为$1的等边\triangle ABC的边AB上一点P$,作$PE\perp AC于点E$,$Q为BC$延长线上一点,当$PA = CQ$时,连接$PQ交AC于点D$,则$DE$的长为
$\frac{1}{2}$
.答案：$\frac{1}{2}$
解析：
解：过点P作PF//BC交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=1。
∵PF//BC，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD。
∴△APF是等边三角形，
∴PA=PF=AF。
∵PA=CQ，
∴PF=CQ。
在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD。
∵PE⊥AC，△APF是等边三角形，
∴AE=EF。
设AE=EF=x，FD=CD=y，
则AF=AE+EF=2x，AC=AF+FD+CD=2x+2y=1，
∴x+y=1/2。
∵DE=EF+FD=x+y，
∴DE=1/2。
答案：$\frac{1}{2}$
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=1。
∵PF//BC，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD。
∴△APF是等边三角形，
∴PA=PF=AF。
∵PA=CQ，
∴PF=CQ。
在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD。
∵PE⊥AC，△APF是等边三角形，
∴AE=EF。
设AE=EF=x，FD=CD=y，
则AF=AE+EF=2x，AC=AF+FD+CD=2x+2y=1，
∴x+y=1/2。
∵DE=EF+FD=x+y，
∴DE=1/2。
答案：$\frac{1}{2}$