20. (6分)如图,直线MN与x轴、y轴分别交于点A,C,分别过点A,C作x轴、y轴的垂线相交于点B,且$OA= 8,OC= 6$.
(1)求直线MN的函数表达式;
(2)在直线MN上存在点P,使以P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请求出点P的坐标.
(1)求直线MN的函数表达式;
(2)在直线MN上存在点P,使以P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请求出点P的坐标.
答案：
解:(1)∵ $ O A = 8 $，$ O C = 6 $，∴ $ A ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 6 ) $，
设直线 $ M N $ 的函数表达式是 $ y = k x + b ( k \neq 0 ) $。
∵ 点 $ A $，$ C $ 都在直线 $ M N $ 上，
∴ $ \left\{ \begin{array} { l } { 8 k + b = 0 }, \\ { b = 6 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = - \frac { 3 } { 4 } }, \\ { b = 6 }, \end{array} \right. $
∴ 直线 $ M N $ 的函数表达式为 $ y = - \frac { 3 } { 4 } x + 6 $。
(2)由 $ A ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 6 ) $，结合题意知 $ B ( 8, 6 ) $。
∵ 点 $ P $ 在直线 $ M N $ 上，
∴ 设 $ P \left( a, - \frac { 3 } { 4 } a + 6 \right) $。当以 $ P $，$ B $，$ C $ 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论(如答图):
① 当 $ P C = P B $ 时，点 $ P $ 是线段 $ B C $ 的垂直平分线与直线 $ M N $ 的交点，则 $ P _ { 1 } ( 4, 3 ) $；
② 当 $ P C = B C $ 时，$ a ^ { 2 } + \left( - \frac { 3 } { 4 } a + 6 - 6 \right) ^ { 2 } = 64 $，
解得 $ a = \pm \frac { 32 } { 5 } $，则 $ P _ { 2 } \left( - \frac { 32 } { 5 }, \frac { 54 } { 5 } \right) $，$ P _ { 3 } \left( \frac { 32 } { 5 }, \frac { 6 } { 5 } \right) $；
③ 当 $ P B = B C $ 时，$ ( a - 8 ) ^ { 2 } + \left( - \frac { 3 } { 4 } a + 6 - 6 \right) ^ { 2 } = 64 $，
解得 $ a = \frac { 256 } { 25 } $，则 $ - \frac { 3 } { 4 } a + 6 = - \frac { 42 } { 25 } $，∴ $ P _ { 4 } \left( \frac { 256 } { 25 }, - \frac { 42 } { 25 } \right) $。
综上所述，符合条件的点 $ P $ 的坐标为 $ ( 4, 3 ) $，$ \left( - \frac { 32 } { 5 }, \frac { 54 } { 5 } \right) $，$ \left( \frac { 32 } { 5 }, \frac { 6 } { 5 } \right) $ 或 $ \left( \frac { 256 } { 25 }, - \frac { 42 } { 25 } \right) $。
解:(1)∵ $ O A = 8 $，$ O C = 6 $，∴ $ A ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 6 ) $，
设直线 $ M N $ 的函数表达式是 $ y = k x + b ( k \neq 0 ) $。
∵ 点 $ A $，$ C $ 都在直线 $ M N $ 上，
∴ $ \left\{ \begin{array} { l } { 8 k + b = 0 }, \\ { b = 6 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = - \frac { 3 } { 4 } }, \\ { b = 6 }, \end{array} \right. $
∴ 直线 $ M N $ 的函数表达式为 $ y = - \frac { 3 } { 4 } x + 6 $。
(2)由 $ A ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 6 ) $，结合题意知 $ B ( 8, 6 ) $。
∵ 点 $ P $ 在直线 $ M N $ 上，
∴ 设 $ P \left( a, - \frac { 3 } { 4 } a + 6 \right) $。当以 $ P $，$ B $，$ C $ 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论(如答图):
① 当 $ P C = P B $ 时，点 $ P $ 是线段 $ B C $ 的垂直平分线与直线 $ M N $ 的交点，则 $ P _ { 1 } ( 4, 3 ) $；
② 当 $ P C = B C $ 时，$ a ^ { 2 } + \left( - \frac { 3 } { 4 } a + 6 - 6 \right) ^ { 2 } = 64 $，
解得 $ a = \pm \frac { 32 } { 5 } $，则 $ P _ { 2 } \left( - \frac { 32 } { 5 }, \frac { 54 } { 5 } \right) $，$ P _ { 3 } \left( \frac { 32 } { 5 }, \frac { 6 } { 5 } \right) $；
③ 当 $ P B = B C $ 时，$ ( a - 8 ) ^ { 2 } + \left( - \frac { 3 } { 4 } a + 6 - 6 \right) ^ { 2 } = 64 $，
解得 $ a = \frac { 256 } { 25 } $，则 $ - \frac { 3 } { 4 } a + 6 = - \frac { 42 } { 25 } $，∴ $ P _ { 4 } \left( \frac { 256 } { 25 }, - \frac { 42 } { 25 } \right) $。
综上所述，符合条件的点 $ P $ 的坐标为 $ ( 4, 3 ) $，$ \left( - \frac { 32 } { 5 }, \frac { 54 } { 5 } \right) $，$ \left( \frac { 32 } { 5 }, \frac { 6 } { 5 } \right) $ 或 $ \left( \frac { 256 } { 25 }, - \frac { 42 } { 25 } \right) $。
21. (8分)(2024·高港区三模)如图,为了解某新能源汽车的充电速度,实验小组调查发现:当汽车充电率$w(充电率w= \frac {充电电量}{电池容量})满足0.2≤w≤0.9$时,用该品牌汽车专用充电桩充电,汽车充电率$w_{1}$与充电时间t(单位:h)的函数图象是折线ABC;用公共充电桩充电时,汽车充电率$w_{2}$与充电时间t(单位:h)的函数图象是线段AD.研究表明:为保护电池寿命,当充电率超过0.8时,品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩的充电速度相同.根据以上信息,回答下列问题:
(1)求AD的函数表达式;
(2)若该汽车充电率从0.2至0.9,用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多长时间?
(1)求AD的函数表达式;
(2)若该汽车充电率从0.2至0.9,用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多长时间?
答案：解:(1)设 $ A D $ 的函数表达式为 $ w = k t + b $，
由题图可知，$ A D $ 过点 $ ( 0, 0.2 ) $，$ ( 6, 0.8 ) $，
∴ $ \left\{ \begin{array} { l } { b = 0.2 }, \\ { 6 k + 0.2 = 0.8 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = 0.1 }, \\ { b = 0.2 }, \end{array} \right. $
∴ $ A D $ 的函数表达式为 $ w = 0.1 t + 0.2 $。
(2)该汽车使用公共充电桩充电时，充电速度为 $ \frac { 0.8 - 0.2 } { 6 } = 0.1 $，则充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ \frac { 0.9 - 0.2 } { 0.1 } = 7 ( \mathrm { h } ) $。由题图可知，该汽车使用品牌专用充电桩充电时，充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.8 $，所用时间为 $ 2 \mathrm { h } $，∵ 当充电率超过 $ 0.8 $ 时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同，∴ 充电率从 $ 0.8 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ \frac { 0.9 - 0.8 } { 0.1 } = 1 ( \mathrm { h } ) $，
∴ 汽车使用品牌专用充电桩充电时，充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ 2 + 1 = 3 ( \mathrm { h } ) $，即该汽车充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用 $ 7 - 3 = 4 ( \mathrm { h } ) $。
由题图可知，$ A D $ 过点 $ ( 0, 0.2 ) $，$ ( 6, 0.8 ) $，
∴ $ \left\{ \begin{array} { l } { b = 0.2 }, \\ { 6 k + 0.2 = 0.8 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = 0.1 }, \\ { b = 0.2 }, \end{array} \right. $
∴ $ A D $ 的函数表达式为 $ w = 0.1 t + 0.2 $。
(2)该汽车使用公共充电桩充电时，充电速度为 $ \frac { 0.8 - 0.2 } { 6 } = 0.1 $，则充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ \frac { 0.9 - 0.2 } { 0.1 } = 7 ( \mathrm { h } ) $。由题图可知，该汽车使用品牌专用充电桩充电时，充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.8 $，所用时间为 $ 2 \mathrm { h } $，∵ 当充电率超过 $ 0.8 $ 时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同，∴ 充电率从 $ 0.8 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ \frac { 0.9 - 0.8 } { 0.1 } = 1 ( \mathrm { h } ) $，
∴ 汽车使用品牌专用充电桩充电时，充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $ 需 $ 2 + 1 = 3 ( \mathrm { h } ) $，即该汽车充电率从 $ 0.2 $ 至 $ 0.9 $，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用 $ 7 - 3 = 4 ( \mathrm { h } ) $。
22. (8分)(2023·扬州)近年来,市民交通安全意识逐步增强,头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔,已知购进甲种头盔20只,乙种头盔30只,共花费2920元,甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购进多少只甲种头盔,使此次购进头盔的总费用最小? 最小费用是多少元?
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购进多少只甲种头盔,使此次购进头盔的总费用最小? 最小费用是多少元?
答案：解:(1)设甲种头盔的单价为 $ x $ 元，乙种头盔的单价为 $ y $ 元，
根据题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 2920 }, \\ { x - y = 11 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 65 }, \\ { y = 54 }. \end{array} \right. $
答: 甲种头盔的单价是 $ 65 $ 元，乙种头盔的单价是 $ 54 $ 元。
(2)设再次购进甲种头盔 $ m $ 只，总费用为 $ w $ 元，
根据题意，得 $ m \geq \frac { 1 } { 2 } ( 40 - m ) $，解得 $ m \geq \frac { 40 } { 3 } $，
$ w = 65 × 0.8 m + ( 54 - 6 ) ( 40 - m ) = 4 m + 1920 $，
∵ $ 4 ＞ 0 $，∴ $ w $ 随着 $ m $ 的增大而增大，
∴ 当 $ m = 14 $ 时，$ w $ 取得最小值，
此时 $ w = 14 × 4 + 1920 = 1976 $。
答: 购进 $ 14 $ 只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为 $ 1976 $ 元。
根据题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 2920 }, \\ { x - y = 11 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 65 }, \\ { y = 54 }. \end{array} \right. $
答: 甲种头盔的单价是 $ 65 $ 元，乙种头盔的单价是 $ 54 $ 元。
(2)设再次购进甲种头盔 $ m $ 只，总费用为 $ w $ 元，
根据题意，得 $ m \geq \frac { 1 } { 2 } ( 40 - m ) $，解得 $ m \geq \frac { 40 } { 3 } $，
$ w = 65 × 0.8 m + ( 54 - 6 ) ( 40 - m ) = 4 m + 1920 $，
∵ $ 4 ＞ 0 $，∴ $ w $ 随着 $ m $ 的增大而增大，
∴ 当 $ m = 14 $ 时，$ w $ 取得最小值，
此时 $ w = 14 × 4 + 1920 = 1976 $。
答: 购进 $ 14 $ 只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为 $ 1976 $ 元。