8.(2024·句容期末)如图,$CD= 2$,点B是线段CD上一动点,且$∠DCA= 90^{\circ },CA= CB$,以AB为底边作等腰$\triangle ABP$,则DP的最小值是 (
A.1
B.2
C.$\frac {\sqrt {2}}{2}$
D.$\sqrt {2}$
D
)A.1
B.2
C.$\frac {\sqrt {2}}{2}$
D.$\sqrt {2}$
答案：D
解析：
解：以C为原点，CD为x轴，CA为y轴建立坐标系。设B(t,0)，则A(0,t)，其中t∈[0,2]。
AB中点坐标为($\frac{t}{2}$,$\frac{t}{2}$)，AB斜率为-1，故AB垂直平分线斜率为1，方程为$y - \frac{t}{2} = x - \frac{t}{2}$，即$y = x$。
点P在直线$y = x$上，设P(m,m)。则$DP = \sqrt{(m - 2)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{2m^2 - 4m + 4}$。
当$m = 1$时，$DP$取最小值$\sqrt{2}$。
答案：D
AB中点坐标为($\frac{t}{2}$,$\frac{t}{2}$)，AB斜率为-1，故AB垂直平分线斜率为1，方程为$y - \frac{t}{2} = x - \frac{t}{2}$，即$y = x$。
点P在直线$y = x$上，设P(m,m)。则$DP = \sqrt{(m - 2)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{2m^2 - 4m + 4}$。
当$m = 1$时，$DP$取最小值$\sqrt{2}$。
答案：D
9.$\sqrt {2}$的相反数是
$-\sqrt{2}$
.答案：$-\sqrt{2}$
10.(2024·句容期末)已知点$A(2,a)$关于x轴的对称点为点$B(b,-3)$,则$a+b$的值为
5
.答案：5
解析：
解：∵点A(2,a)关于x轴的对称点为点B(b,-3)
∴b=2，a=3
∴a+b=3+2=5
故答案为：5
∴b=2，a=3
∴a+b=3+2=5
故答案为：5
11.如图,上午9时,一艘船从小岛A出发,以12海里/时的速度向正北方向航行,10时40分到达小岛B处,若从灯塔C处测得小岛A,B分别在南偏东$34^{\circ },68^{\circ }$方向,则小岛B到灯塔C的距离是
20
海里.答案：20
解析：
解：船从上午9时到10时40分航行的时间为$1$小时$40$分钟，即$\frac{5}{3}$小时。
根据路程=速度×时间，可得$AB = 12×\frac{5}{3}=20$海里。
由题意知，灯塔$C$处测得小岛$A$在南偏东$34^{\circ}$方向，小岛$B$在南偏东$68^{\circ}$方向，所以$\angle BCA=68^{\circ}-34^{\circ}=34^{\circ}$。
因为船向正北方向航行，所以$\angle BAC = 34^{\circ}$（内错角相等）。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\angle BCA = 34^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$BC=AB$。
因为$AB = 20$海里，所以$BC=20$海里。
答：小岛$B$到灯塔$C$的距离是$20$海里。
根据路程=速度×时间，可得$AB = 12×\frac{5}{3}=20$海里。
由题意知，灯塔$C$处测得小岛$A$在南偏东$34^{\circ}$方向，小岛$B$在南偏东$68^{\circ}$方向，所以$\angle BCA=68^{\circ}-34^{\circ}=34^{\circ}$。
因为船向正北方向航行，所以$\angle BAC = 34^{\circ}$（内错角相等）。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\angle BCA = 34^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$BC=AB$。
因为$AB = 20$海里，所以$BC=20$海里。
答：小岛$B$到灯塔$C$的距离是$20$海里。
12.若$m= (x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$,且$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})是一次函数y= ax-3x+b$的图象上两个不同的点,当$m＜0$时,a的取值范围是
$a ＜ 3$
.答案：$a ＜ 3$
解析：
解：
因为点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在一次函数$y = ax - 3x + b$的图象上，
所以$y_{1}=(a - 3)x_{1}+b$，$y_{2}=(a - 3)x_{2}+b$，
则$y_{1}-y_{2}=(a - 3)(x_{1}-x_{2})$。
$m=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}(a - 3)$。
由于$A$，$B$是不同的点，$(x_{1}-x_{2})^{2}＞0$，
又$m＜0$，所以$a - 3＜0$，即$a＜3$。
$a ＜ 3$
因为点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在一次函数$y = ax - 3x + b$的图象上，
所以$y_{1}=(a - 3)x_{1}+b$，$y_{2}=(a - 3)x_{2}+b$，
则$y_{1}-y_{2}=(a - 3)(x_{1}-x_{2})$。
$m=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}(a - 3)$。
由于$A$，$B$是不同的点，$(x_{1}-x_{2})^{2}＞0$，
又$m＜0$，所以$a - 3＜0$，即$a＜3$。
$a ＜ 3$
13.点A为直线$y= -3x-4$上一点,且到两坐标轴的距离相等,则A点坐标为
$(-1,-1)$或$(-2,2)$
.答案：$(-1,-1)$或$(-2,2)$
解析：
解：设点A的坐标为$(a,b)$。
因为点A在直线$y=-3x-4$上，所以$b=-3a-4$。
又因为点A到两坐标轴的距离相等，所以$|a|=|b|$，即$a=b$或$a=-b$。
情况一：当$a=b$时，将$b=a$代入$b=-3a-4$，得$a=-3a-4$，解得$a=-1$，则$b=-1$，所以点A的坐标为$(-1,-1)$。
情况二：当$a=-b$时，将$b=-a$代入$b=-3a-4$，得$-a=-3a-4$，解得$a=-2$，则$b=2$，所以点A的坐标为$(-2,2)$。
综上，A点坐标为$(-1,-1)$或$(-2,2)$。
因为点A在直线$y=-3x-4$上，所以$b=-3a-4$。
又因为点A到两坐标轴的距离相等，所以$|a|=|b|$，即$a=b$或$a=-b$。
情况一：当$a=b$时，将$b=a$代入$b=-3a-4$，得$a=-3a-4$，解得$a=-1$，则$b=-1$，所以点A的坐标为$(-1,-1)$。
情况二：当$a=-b$时，将$b=-a$代入$b=-3a-4$，得$-a=-3a-4$，解得$a=-2$，则$b=2$，所以点A的坐标为$(-2,2)$。
综上，A点坐标为$(-1,-1)$或$(-2,2)$。
14.如图,在$\triangle ABC$中,$BC= 8cm$,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,AC的长为12 cm,则$\triangle BCE$的周长等于
20
cm.答案：20
解析：
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
∵AC=12cm，
∴AE+EC=BE+EC=12cm。
∵BC=8cm，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=12+8=20cm。
20
∴AE=BE。
∵AC=12cm，
∴AE+EC=BE+EC=12cm。
∵BC=8cm，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=12+8=20cm。
20
15.(2023秋·句容期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线$y= -\frac {3}{2}x+3$分别与x轴、y轴交于点A,B,将$\triangle AOB$沿x轴正方向平移1个单位长度,平移后的三角形为$\triangle A'O'B',O'B'$与AB交于点F,则阴影部分的面积为
$\frac{9}{4}$
.答案：$\frac{9}{4}$
解析：
解：对于直线$y=-\frac{3}{2}x+3$，
令$y=0$，则$-\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=2$，$\therefore A(2,0)$；
令$x=0$，则$y=3$，$\therefore B(0,3)$。
$\triangle AOB$沿$x$轴正方向平移1个单位长度得$\triangle A'O'B'$，
$\therefore O'(1,0)$，$B'(1,3)$，$A'(3,0)$。
直线$O'B'$为$x=1$，与$AB$交于点$F$，
将$x=1$代入$y=-\frac{3}{2}x+3$，得$y=-\frac{3}{2}×1 + 3=\frac{3}{2}$，$\therefore F(1,\frac{3}{2})$。
阴影部分为梯形$FO'A A'$，上底$FO'=\frac{3}{2}$，下底$A'A'$（应为$A'A$）$=1$，高为$O'A=2 - 1=1$。
面积$S=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}+3)×1=\frac{9}{4}$。
$\frac{9}{4}$
令$y=0$，则$-\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=2$，$\therefore A(2,0)$；
令$x=0$，则$y=3$，$\therefore B(0,3)$。
$\triangle AOB$沿$x$轴正方向平移1个单位长度得$\triangle A'O'B'$，
$\therefore O'(1,0)$，$B'(1,3)$，$A'(3,0)$。
直线$O'B'$为$x=1$，与$AB$交于点$F$，
将$x=1$代入$y=-\frac{3}{2}x+3$，得$y=-\frac{3}{2}×1 + 3=\frac{3}{2}$，$\therefore F(1,\frac{3}{2})$。
阴影部分为梯形$FO'A A'$，上底$FO'=\frac{3}{2}$，下底$A'A'$（应为$A'A$）$=1$，高为$O'A=2 - 1=1$。
面积$S=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}+3)×1=\frac{9}{4}$。
$\frac{9}{4}$
16.如图,等腰$\triangle ABC的底边BC= 20$,面积为120,点F在边BC上,且$BF= 3FC$,EG是腰AC的垂直平分线.若点D在EG上运动,则$\triangle CDF$周长的最小值为______.
答案：1. 首先，求$AC$边上的高：
已知等腰$\triangle ABC$中，$BC = 20$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h = 120$（设$h$为$BC$边上的高）。
把$BC = 20$代入$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，得$\frac{1}{2}×20× h = 120$，解得$h = 12$。
过$A$作$AH\perp BC$于$H$，因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$BH = CH=\frac{1}{2}BC = 10$（等腰三角形三线合一）。
根据勾股定理$AB = AC=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}$，$AH = 12$，$BH = 10$，则$AC=\sqrt{12^{2}+10^{2}}=\sqrt{144 + 100}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$。
2. 然后，根据$BF = 3FC$求$FC$的长度：
因为$BF + FC=BC$，$BC = 20$，$BF = 3FC$，所以$3FC+FC = 20$，即$4FC = 20$，解得$FC = 5$。
3. 接着，利用垂直平分线的性质：
因为$EG$是$AC$的垂直平分线，所以$AD = CD$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
则$C_{\triangle CDF}=CD + DF+FC=AD + DF+FC$。
当$A$，$D$，$F$三点共线时，$AD + DF$最小，最小值为$AF$。
4. 最后，求$AF$的长度：
因为$AH\perp BC$，$AH = 12$，$FH=CH - FC$，$CH = 10$，$FC = 5$，所以$FH = 10 - 5 = 5$。
根据勾股定理$AF=\sqrt{AH^{2}+FH^{2}}$，$AH = 12$，$FH = 5$，则$AF=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
所以$C_{\triangle CDF}$的最小值为$AF+FC$，$AF = 13$，$FC = 5$，$C_{\triangle CDF}$的最小值为$13 + 5=18$。
故答案为$18$。
已知等腰$\triangle ABC$中，$BC = 20$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h = 120$（设$h$为$BC$边上的高）。
把$BC = 20$代入$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，得$\frac{1}{2}×20× h = 120$，解得$h = 12$。
过$A$作$AH\perp BC$于$H$，因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$BH = CH=\frac{1}{2}BC = 10$（等腰三角形三线合一）。
根据勾股定理$AB = AC=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}$，$AH = 12$，$BH = 10$，则$AC=\sqrt{12^{2}+10^{2}}=\sqrt{144 + 100}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$。
2. 然后，根据$BF = 3FC$求$FC$的长度：
因为$BF + FC=BC$，$BC = 20$，$BF = 3FC$，所以$3FC+FC = 20$，即$4FC = 20$，解得$FC = 5$。
3. 接着，利用垂直平分线的性质：
因为$EG$是$AC$的垂直平分线，所以$AD = CD$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
则$C_{\triangle CDF}=CD + DF+FC=AD + DF+FC$。
当$A$，$D$，$F$三点共线时，$AD + DF$最小，最小值为$AF$。
4. 最后，求$AF$的长度：
因为$AH\perp BC$，$AH = 12$，$FH=CH - FC$，$CH = 10$，$FC = 5$，所以$FH = 10 - 5 = 5$。
根据勾股定理$AF=\sqrt{AH^{2}+FH^{2}}$，$AH = 12$，$FH = 5$，则$AF=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
所以$C_{\triangle CDF}$的最小值为$AF+FC$，$AF = 13$，$FC = 5$，$C_{\triangle CDF}$的最小值为$13 + 5=18$。
故答案为$18$。
解析：
解：过点A作AH⊥BC于H，
∵等腰△ABC，BC=20，面积为120，
∴BH=CH=10，AH=120×2÷20=12，
在Rt△AHC中，AC=√(AH²+CH²)=√(12²+10²)=√244=2√61（此步可省略，因后续用不到AC长度）。
∵BF=3FC，BC=20，
∴FC=5，BF=15。
∵EG是AC的垂直平分线，
∴点D在EG上时，DA=DC。
△CDF周长=CD+DF+FC=AD+DF+5，
当A、D、F三点共线时，AD+DF最小，最小值为AF。
在Rt△AHF中，HF=CH-FC=10-5=5，AH=12，
AF=√(AH²+HF²)=√(12²+5²)=13。
∴△CDF周长最小值=13+5=18。
答案：18
∵等腰△ABC，BC=20，面积为120，
∴BH=CH=10，AH=120×2÷20=12，
在Rt△AHC中，AC=√(AH²+CH²)=√(12²+10²)=√244=2√61（此步可省略，因后续用不到AC长度）。
∵BF=3FC，BC=20，
∴FC=5，BF=15。
∵EG是AC的垂直平分线，
∴点D在EG上时，DA=DC。
△CDF周长=CD+DF+FC=AD+DF+5，
当A、D、F三点共线时，AD+DF最小，最小值为AF。
在Rt△AHF中，HF=CH-FC=10-5=5，AH=12，
AF=√(AH²+HF²)=√(12²+5²)=13。
∴△CDF周长最小值=13+5=18。
答案：18
17.(6分)计算:$|-1|+\sqrt [3]{-8}-\sqrt {(-3)^{2}}$.
解：原式$=1 - 2 - 3 = -4$。
答案：解：原式$=1 - 2 - 3 = -4$。
解析：
解：原式$=1 + (-2) - 3$
$=1 - 2 - 3$
$=-4$
$=1 - 2 - 3$
$=-4$