1.(2024·句容期末)下列运算正确的是 (
A.$\sqrt {4}= \pm 2$
B.$\sqrt {(-2)^{2}}= -2$
C.$\sqrt [3]{-8}= 2$
D.$\sqrt [3]{(-3)^{3}}= -3$
D
)A.$\sqrt {4}= \pm 2$
B.$\sqrt {(-2)^{2}}= -2$
C.$\sqrt [3]{-8}= 2$
D.$\sqrt [3]{(-3)^{3}}= -3$
答案：D
解析：
A. $\sqrt{4}=2$，故A错误；
B. $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，故B错误；
C. $\sqrt[3]{-8}=-2$，故C错误；
D. $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，故D正确。
答案：D
B. $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，故B错误；
C. $\sqrt[3]{-8}=-2$，故C错误；
D. $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，故D正确。
答案：D
2.在实数$0,\frac {π}{2},0.23,\frac {2}{3},\sqrt {5}$中,无理数的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
解：无理数是无限不循环小数。
0是整数，属于有理数；
0.23是有限小数，属于有理数；
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\frac{π}{2}$中π是无限不循环小数，所以$\frac{π}{2}$是无理数；
$\sqrt{5}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数有$\frac{π}{2}$，$\sqrt{5}$，共2个。
答案：B
0是整数，属于有理数；
0.23是有限小数，属于有理数；
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\frac{π}{2}$中π是无限不循环小数，所以$\frac{π}{2}$是无理数；
$\sqrt{5}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数有$\frac{π}{2}$，$\sqrt{5}$，共2个。
答案：B
3.(2024·句容期末)小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格,小颖看到后说有一个函数值求错了.这个错误的函数值是 (
A.5
B.2
C.-2
D.-4
C
)A.5
B.2
C.-2
D.-4
答案：C
解析：
设一次函数解析式为$y = kx + b$。
选取表格中前两组数据$(-2,5)$和$(-1,2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}-2k + b = 5 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得$k = -3$，$b = -1$，函数解析式为$y = -3x - 1$。
验证其他数据：
当$x = 0$时，$y = -3×0 - 1 = -1$，表格中为$-2$，错误。
当$x = 1$时，$y = -3×1 - 1 = -4$，表格中正确。
错误的函数值是$-2$。
C
选取表格中前两组数据$(-2,5)$和$(-1,2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}-2k + b = 5 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得$k = -3$，$b = -1$，函数解析式为$y = -3x - 1$。
验证其他数据：
当$x = 0$时，$y = -3×0 - 1 = -1$，表格中为$-2$，错误。
当$x = 1$时，$y = -3×1 - 1 = -4$，表格中正确。
错误的函数值是$-2$。
C
4.若$\triangle ABC\cong \triangle DEF,\triangle DEF$的周长为12,$AB= 3,BC= 4$,则DF的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案：C
解析：
解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=3，BC=EF=4，AC=DF。
∵△DEF的周长为12，
∴DE+EF+DF=12，
即3+4+DF=12，
解得DF=5。
答案：C
∴AB=DE=3，BC=EF=4，AC=DF。
∵△DEF的周长为12，
∴DE+EF+DF=12，
即3+4+DF=12，
解得DF=5。
答案：C
5.已知一次函数$y= -mx+n-2$的图象如图所示,则m,n的取值范围是 (
A.$m＞0,n＜2$
B.$m＜0,n＜2$
C.$m＜0,n＞2$
D.$m＞0,n＞2$
C
)A.$m＞0,n＜2$
B.$m＜0,n＜2$
C.$m＜0,n＞2$
D.$m＞0,n＞2$
答案：C
解析：
解：由一次函数$y = -mx + n - 2$的图象可知，函数值$y$随$x$的增大而增大，所以$-m＞0$，即$m＜0$；
又因为函数图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，所以当$x=0$时，$y=n - 2＞0$，即$n＞2$。
综上，$m＜0$，$n＞2$，答案选C。
又因为函数图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，所以当$x=0$时，$y=n - 2＞0$，即$n＞2$。
综上，$m＜0$，$n＞2$，答案选C。
6.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 5cm,BC= 12cm,∠CAB$的平分线交BC于点D,过点D作$DE⊥AB$于点E,则DE的长为 (
A.4 cm
B.3 cm
C.$\frac {8}{3}cm$
D.$\frac {10}{3}cm$
D
)A.4 cm
B.3 cm
C.$\frac {8}{3}cm$
D.$\frac {10}{3}cm$
答案：1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 5cm$，$BC = 12cm$，则$AB=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13cm$。
2. 然后，利用角平分线的性质：
因为$AD$是$\angle CAB$的平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以$DC = DE$。
设$DE=xcm$，则$DC = xcm$，$BD=(12 - x)cm$。
3. 接着，根据三角形面积关系：
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABD}$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12 = 30cm^{2}$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DC=\frac{1}{2}×5× x$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}×13× x$。
所以$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$，两边同时乘以$2$得$5×12 = 5x+13x$。
即$60=(5 + 13)x$，$18x = 60$。
解得$x=\frac{10}{3}$。
所以$DE$的长为$\frac{10}{3}cm$，答案是D。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 5cm$，$BC = 12cm$，则$AB=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13cm$。
2. 然后，利用角平分线的性质：
因为$AD$是$\angle CAB$的平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以$DC = DE$。
设$DE=xcm$，则$DC = xcm$，$BD=(12 - x)cm$。
3. 接着，根据三角形面积关系：
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABD}$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12 = 30cm^{2}$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DC=\frac{1}{2}×5× x$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}×13× x$。
所以$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$，两边同时乘以$2$得$5×12 = 5x+13x$。
即$60=(5 + 13)x$，$18x = 60$。
解得$x=\frac{10}{3}$。
所以$DE$的长为$\frac{10}{3}cm$，答案是D。
解析：
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线性质）。
在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，
由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(5²+12²)=13cm。
设DE=DC=x cm，则BD=(12-x)cm。
∵AD=AD，∠C=∠AED=90°，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=5cm，
∴BE=AB-AE=13-5=8cm。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE²+BE²=BD²，
即x²+8²=(12-x)²，
解得x=10/3。
∴DE的长为10/3 cm。
答案：D
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线性质）。
在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，
由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(5²+12²)=13cm。
设DE=DC=x cm，则BD=(12-x)cm。
∵AD=AD，∠C=∠AED=90°，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=5cm，
∴BE=AB-AE=13-5=8cm。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE²+BE²=BD²，
即x²+8²=(12-x)²，
解得x=10/3。
∴DE的长为10/3 cm。
答案：D
7.如图,EF是BC的垂直平分线,交BC于点D,点A是直线EF上一动点,它从点D出发沿射线DE方向运动,当$∠BAC减少x^{\circ }$时,$∠ABC增加y^{\circ }$,则y与x的函数表达式是( )
A.$y= x$
B.$y= \frac {1}{2}x$
C.$y= 90-x$
D.$y= 90-\frac {1}{2}x$
B
A.$y= x$
B.$y= \frac {1}{2}x$
C.$y= 90-x$
D.$y= 90-\frac {1}{2}x$
答案：本题可以根据垂直平分线的性质以及三角形内角和定理来求解$y$与$x$的函数表达式。
步骤一：根据垂直平分线的性质得到相关角度关系
已知$EF$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
设$\angle BAC = m^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = n^{\circ}$，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$m + 2n=180$，即$n = 90-\frac{1}{2}m$。
步骤二：分析角度变化后的关系
当$\angle BAC$减少$x^{\circ}$时，此时$\angle BAC=(m - x)^{\circ}$；$\angle ABC$增加$y^{\circ}$时，此时$\angle ABC=(n + y)^{\circ}$，因为$AB = AC$的关系不变，所以$\angle ACB=(n + y)^{\circ}$。
再根据三角形内角和定理可得$(m - x)+2(n + y)=180$。
步骤三：将$n = 90-\frac{1}{2}m$代入$(m - x)+2(n + y)=180$求解$y$与$x$的关系
把$n = 90-\frac{1}{2}m$代入$(m - x)+2(n + y)=180$中：
$\begin{aligned}m - x + 2(90-\frac{1}{2}m + y)&=180\\m - x + 180 - m + 2y&=180\\ - x + 2y&=0\\2y&=x\\y&=\frac{1}{2}x\end{aligned}$
所以$y$与$x$的函数表达式是$y=\frac{1}{2}x$，答案选$\boldsymbol{B}$。
步骤一：根据垂直平分线的性质得到相关角度关系
已知$EF$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
设$\angle BAC = m^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = n^{\circ}$，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$m + 2n=180$，即$n = 90-\frac{1}{2}m$。
步骤二：分析角度变化后的关系
当$\angle BAC$减少$x^{\circ}$时，此时$\angle BAC=(m - x)^{\circ}$；$\angle ABC$增加$y^{\circ}$时，此时$\angle ABC=(n + y)^{\circ}$，因为$AB = AC$的关系不变，所以$\angle ACB=(n + y)^{\circ}$。
再根据三角形内角和定理可得$(m - x)+2(n + y)=180$。
步骤三：将$n = 90-\frac{1}{2}m$代入$(m - x)+2(n + y)=180$求解$y$与$x$的关系
把$n = 90-\frac{1}{2}m$代入$(m - x)+2(n + y)=180$中：
$\begin{aligned}m - x + 2(90-\frac{1}{2}m + y)&=180\\m - x + 180 - m + 2y&=180\\ - x + 2y&=0\\2y&=x\\y&=\frac{1}{2}x\end{aligned}$
所以$y$与$x$的函数表达式是$y=\frac{1}{2}x$，答案选$\boldsymbol{B}$。
解析：
解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
设初始∠BAC=α，∠ABC=∠ACB=β，
则α+2β=180°，β=(180°-α)/2=90°-α/2，
运动后∠BAC=α-x°，∠ABC=β+y°，
此时∠ACB=β+y°，
(α-x°)+2(β+y°)=180°，
α-x°+2β+2y°=180°，
∵α+2β=180°，
∴-x°+2y°=0，
2y°=x°，
y=x/2，
即y=1/2x。
答案：B
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
设初始∠BAC=α，∠ABC=∠ACB=β，
则α+2β=180°，β=(180°-α)/2=90°-α/2，
运动后∠BAC=α-x°，∠ABC=β+y°，
此时∠ACB=β+y°，
(α-x°)+2(β+y°)=180°，
α-x°+2β+2y°=180°，
∵α+2β=180°，
∴-x°+2y°=0，
2y°=x°，
y=x/2，
即y=1/2x。
答案：B