11. (10分)如图,在$10×10$的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)的顶点A,C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(-4,3)$,$(-1,1)$.
(1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系xOy;
(2)画出$\triangle ABC$关于y轴对称的$\triangle A'B'C'$(点A,B,C的对应点分别为点$A'$,$B'$,$C'$);
(3)在x轴上确定一个格点,使得$\triangle PBC$为直角三角形,则满足条件的所有格点P的坐标为____.
(1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系xOy;
(2)画出$\triangle ABC$关于y轴对称的$\triangle A'B'C'$(点A,B,C的对应点分别为点$A'$,$B'$,$C'$);
(3)在x轴上确定一个格点,使得$\triangle PBC$为直角三角形,则满足条件的所有格点P的坐标为____.
答案：
(1)(2)解:如答图.
(3)$(1,0)$或$(-4,0)$
(1)(2)解:如答图.
(3)$(1,0)$或$(-4,0)$
12. (14分)【阅读理解】在平面直角坐标系中,两点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$的“直角距离”$d(P,Q) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$,如点$P(-1,1)$,$Q(2,3)$的“直角距离”$d(P,Q) = 5$.
【问题解决】已知点A的坐标为$(2,1)$,点B在一次函数$y = x + 2$的图象上.
(1)当点B的横坐标为$-\frac{1}{2}$时,求$d(A,B)$的值;
(2)若$d(A,B) = 5$,求点B的坐标;
(3)若点B的横、纵坐标都为整数,且$d(A,B) = 3$,请写出所有符合条件的点B的坐标.
【问题解决】已知点A的坐标为$(2,1)$,点B在一次函数$y = x + 2$的图象上.
(1)当点B的横坐标为$-\frac{1}{2}$时,求$d(A,B)$的值;
(2)若$d(A,B) = 5$,求点B的坐标;
(3)若点B的横、纵坐标都为整数,且$d(A,B) = 3$,请写出所有符合条件的点B的坐标.
答案：解:(1)当$x=-\frac{1}{2}$时,$y=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$,
$\therefore B(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$,$\because A(2,1)$,
$\therefore d(A,B)=\left|2-(-\frac{1}{2})\right|+\left|1-\frac{3}{2}\right|=3$.
(2)设$B(x,x+2)$,则$d(A,B)=\left|2-x\right|+\left|1-(x+2)\right|=\left|2-x\right|+\left|x+1\right|$,
$\because d(A,B)=5$,$\therefore \left|2-x\right|+\left|x+1\right|=5$,
解得$x=3$或$x=-2$,$\therefore B(3,5)$或$(-2,0)$.
(3)设$B(x,x+2)$,$x$为整数,则$d(A,B)=\left|2-x\right|+\left|1-(x+2)\right|=\left|2-x\right|+\left|x+1\right|$,
$\because d(A,B)=3$,$\therefore \left|2-x\right|+\left|x+1\right|=3$,
$\therefore x=-1$或$x=0$或$x=1$或$x=2$,
$\therefore B(-1,1)$或$(0,2)$或$(1,3)$或$(2,4)$.
$\therefore B(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$,$\because A(2,1)$,
$\therefore d(A,B)=\left|2-(-\frac{1}{2})\right|+\left|1-\frac{3}{2}\right|=3$.
(2)设$B(x,x+2)$,则$d(A,B)=\left|2-x\right|+\left|1-(x+2)\right|=\left|2-x\right|+\left|x+1\right|$,
$\because d(A,B)=5$,$\therefore \left|2-x\right|+\left|x+1\right|=5$,
解得$x=3$或$x=-2$,$\therefore B(3,5)$或$(-2,0)$.
(3)设$B(x,x+2)$,$x$为整数,则$d(A,B)=\left|2-x\right|+\left|1-(x+2)\right|=\left|2-x\right|+\left|x+1\right|$,
$\because d(A,B)=3$,$\therefore \left|2-x\right|+\left|x+1\right|=3$,
$\therefore x=-1$或$x=0$或$x=1$或$x=2$,
$\therefore B(-1,1)$或$(0,2)$或$(1,3)$或$(2,4)$.
13. (16分)(2024·无锡期末)【问题】我们已经研究了等腰三角形的一些基本性质,如“等边对等角”“三线合一”等.对于一般三角形,有哪些对应的性质呢?
【探索1】小华猜想:在$\triangle ABC$中,如果$AB ＞ AC$,那么$\angle C ＞ \angle B$.
也就是说:三角形中较大的边所对的角也比较大(简称“大边对大角”).
小华把AC沿$\angle BAC$的平分线AD翻折,使点C落在AB上的点$C'$处,如图①,得到证明思路.请根据这个思路,结合图①写出证明过程.
【探索2】小华通过画图发现:若AM,AD,AH分别是$\triangle ABC$的中线、角平分线和高线,且$AB \neq AC$,则点D在直线BC上的位置始终处于点M和点H之间.
你认为这个结论是否一定成立?如果成立,不妨设$AB ＞ AC$,请结合图②进行证明;如果不成立,请举出反例.
【探索1】小华猜想:在$\triangle ABC$中,如果$AB ＞ AC$,那么$\angle C ＞ \angle B$.
也就是说:三角形中较大的边所对的角也比较大(简称“大边对大角”).
小华把AC沿$\angle BAC$的平分线AD翻折,使点C落在AB上的点$C'$处,如图①,得到证明思路.请根据这个思路,结合图①写出证明过程.
【探索2】小华通过画图发现:若AM,AD,AH分别是$\triangle ABC$的中线、角平分线和高线,且$AB \neq AC$,则点D在直线BC上的位置始终处于点M和点H之间.
你认为这个结论是否一定成立?如果成立,不妨设$AB ＞ AC$,请结合图②进行证明;如果不成立,请举出反例.
答案：
【探索1】证明:由翻折的性质得$\angle AC'D=\angle C$,
$\because \angle AC'D=\angle B+\angle BDC'$,$\therefore \angle AC'D＞\angle B$,
$\therefore \angle C＞\angle B$.
【探索2】解:这个结论一定成立.理由如下:
$\because AH$是$\triangle ABC$的高,$\therefore AH\perp BC$,
$\therefore \angle AHB=\angle AHC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle BAH=90^{\circ}-\angle B$,$\angle CAH=90^{\circ}-\angle C$,$\because AB＞AC$,
$\therefore \angle C＞\angle B$,$\therefore \angle CAH＜\angle BAH$,$\because AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore$点$D$在点$H$的左侧,
如答图,延长$AM$到点$E$,使$EM=AM$,连接$BE$.
$\because AM$是$\triangle ABC$的中线,$\therefore CM=BM$,
在$\triangle ACM$和$\triangle EBM$中,$\left\{\begin{array}{l}AM=EM,\\ \angle AMC=\angle EMB,\\ CM=BM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACM\cong \triangle EBM(SAS)$,
$\therefore AC=BE$,$\angle CAM=\angle BEM$,$\because AB＞AC$,$\therefore AB＞BE$,
$\therefore \angle BEM＞\angle BAM$,
$\therefore \angle CAM＞\angle BAM$,$\because AD$平分$\angle BAC$,$\therefore$点$D$在点$M$的右侧,
$\therefore$点$D$在直线$BC$上的位置始终处于点$M$和点$H$之间.
【探索1】证明:由翻折的性质得$\angle AC'D=\angle C$,
$\because \angle AC'D=\angle B+\angle BDC'$,$\therefore \angle AC'D＞\angle B$,
$\therefore \angle C＞\angle B$.
【探索2】解:这个结论一定成立.理由如下:
$\because AH$是$\triangle ABC$的高,$\therefore AH\perp BC$,
$\therefore \angle AHB=\angle AHC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle BAH=90^{\circ}-\angle B$,$\angle CAH=90^{\circ}-\angle C$,$\because AB＞AC$,
$\therefore \angle C＞\angle B$,$\therefore \angle CAH＜\angle BAH$,$\because AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore$点$D$在点$H$的左侧,
如答图,延长$AM$到点$E$,使$EM=AM$,连接$BE$.
$\because AM$是$\triangle ABC$的中线,$\therefore CM=BM$,
在$\triangle ACM$和$\triangle EBM$中,$\left\{\begin{array}{l}AM=EM,\\ \angle AMC=\angle EMB,\\ CM=BM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACM\cong \triangle EBM(SAS)$,
$\therefore AC=BE$,$\angle CAM=\angle BEM$,$\because AB＞AC$,$\therefore AB＞BE$,
$\therefore \angle BEM＞\angle BAM$,
$\therefore \angle CAM＞\angle BAM$,$\because AD$平分$\angle BAC$,$\therefore$点$D$在点$M$的右侧,
$\therefore$点$D$在直线$BC$上的位置始终处于点$M$和点$H$之间.