2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版第2页解析答案

1. 如图,$AP$,$CP$分别是四边形$ABCD$的外角$∠DAM$,$∠DCN$的平分线,设$∠ABC=α$,$∠APC=β$,则$∠ADC$的度数为 (

)

A. $180^{\circ }-α-β$
B. $α+β$
C. $α+2β$
D. $2α+β$

答案：C

2. 如图,在直角三角形$ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,$P$,$Q$分别是$AC$,$BC$边上的两个动点,$PM$,$QN$分别平分$∠APQ$和$∠BQP$,交$AB$于点$M$,$N$,$MR$,$NR$又分别平分$∠BMP$和$∠ANQ$,两条角平分线交于点$R$,则$∠R=$

67.5

$^{\circ }$.

答案：67.5　　点拨:因为∠C + ∠CPQ + ∠CQP = 180°，∠C = 90°，
　所以∠CPQ + ∠CQP = 90°。
　因为∠APQ + ∠BQP + ∠CPQ + ∠CQP = 360°，
　所以∠APQ + ∠BQP = 270°。
　因为 PM，QN 分别平分∠APQ 和∠BQP，
　所以∠MPQ + ∠NQP = 135°。
　因为∠MPQ + ∠NQP + ∠PMN + ∠QNM = 360°，
　所以∠PMN + ∠QNM = 225°。
　因为 MR，NR 分别平分∠BMP 和∠ANQ，
　所以∠NMR + ∠MNR = 112.5°。
　因为∠NMR + ∠MNR + ∠R = 180°，所以∠R = 67.5°。

3. 在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,这样的三角形我们称之为“倍角三角形”. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,$P$是线段$AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),连接$CP$.
(1)当$∠B=72^{\circ }$时:
①若$∠CPB=54^{\circ }$,则$△ACP$______“倍角三角形”;(填“是”或“不是”)
②若$△BPC$是“倍角三角形”,求$∠ACP$的度数.
(2)当$△ABC$,$△BPC$,$△ACP$都是“倍角三角形”时,求$∠BCP$的度数.

答案：
(1)①是
　②解:因为∠B = 72°，△BPC 是“倍角三角形”，所以
△BCP 内角的度数分别是 72°，72°，36°，所以∠BCP = 36°或 72°，所以∠ACP = 54°或 18°。
(2)解:如答图①，当△ABC 是等腰直角三角形，CP⊥AB 时，满足条件，此时∠BCP = 45°。
　　　　　　

如答图②，当∠A = 60°，CP⊥AB 时，满足条件，此时∠BCP = 60°。
　　　　　　

如答图③，当∠A = 60°，∠BPC = 100°时，满足条件，此时∠BCP = 50°。
　　　　　　

如答图④，当∠B = 60°，∠APC = 100°时，满足条件，此时∠BCP = 40°。
　　　　　　

如答图⑤，当∠B = 60°，∠APC = 90°时，满足条件，此时∠BCP = 30°。
　　　　　　

综上所述，满足条件的∠BCP 的度数为 30°或 40°或 45°或 50°或 60°。