1. 在$\triangle ABC$中,$AC=6$,$BC=8$,$AB=10$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,那么点$D$到$AB$的距离是（ ）
A. $4.8$
B. $4$
C. $3$
D. $\frac{7}{4}$
A. $4.8$
B. $4$
C. $3$
D. $\frac{7}{4}$
答案：
C 点拨:如答图，过点D作 $DE \perp AB$ 于点E。在 $ \triangle ABC $ 中，$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$，$\because 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 }$，$\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle C = 90 ^ { \circ }$。$\because AD$ 平分 $ \angle BAC$，$\therefore CD = ED$，在 $ \mathrm { Rt } \triangle ACD$ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle AED$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AD = AD } \\ { CD = ED } \end{array} \right.$，$\therefore \mathrm { Rt } \triangle ACD \cong \mathrm { Rt } \triangle AED ( \mathrm { HL } )$，$\therefore AE = AC = 6$，$\therefore BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$。设 $CD = DE = x$，则 $BD = 8 - x$，在 $ \mathrm { Rt } \triangle BDE$ 中，$DE ^ { 2 } + BE ^ { 2 } = BD ^ { 2 }$，即 $x ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 8 - x ) ^ { 2 }$，解得 $x = 3$。故 $DE$ 的长为3。故选C。
C 点拨:如答图，过点D作 $DE \perp AB$ 于点E。在 $ \triangle ABC $ 中，$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$，$\because 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 }$，$\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle C = 90 ^ { \circ }$。$\because AD$ 平分 $ \angle BAC$，$\therefore CD = ED$，在 $ \mathrm { Rt } \triangle ACD$ 和 $ \mathrm { Rt } \triangle AED$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AD = AD } \\ { CD = ED } \end{array} \right.$，$\therefore \mathrm { Rt } \triangle ACD \cong \mathrm { Rt } \triangle AED ( \mathrm { HL } )$，$\therefore AE = AC = 6$，$\therefore BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$。设 $CD = DE = x$，则 $BD = 8 - x$，在 $ \mathrm { Rt } \triangle BDE$ 中，$DE ^ { 2 } + BE ^ { 2 } = BD ^ { 2 }$，即 $x ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 8 - x ) ^ { 2 }$，解得 $x = 3$。故 $DE$ 的长为3。故选C。
2. 如图,$\angle MON=90^{\circ}$,在$\triangle ABC$中,$AC=BC=10$,$AB=12$,$\triangle ABC$的顶点$A$,$B$分别在射线$OM$,$ON$上,当点$B$在$ON$上运动时,点$A$随之在$OM$上运动,$\triangle ABC$的形状始终保持不变,在运动的过程中,点$C$到点$O$的最小距离为______
2
.答案：2 点拨:作 $CH \perp AB$ 于点H，连接 $OH$，$OC$。$\because AC = BC = 10$，$\therefore AH = BH = \frac { 1 } { 2 } AB = 6$。在 $ \mathrm { Rt } \triangle BCH$ 中，由勾股定理得 $CH = 8$。$\because \triangle AOB$ 是直角三角形，H为AB的中点，$\therefore OH = \frac { 1 } { 2 } AB = 6$。$\because OC \geq CH - OH$（当点C，O，H共线时取等号），$\therefore OC$ 的最小值为 $8 - 6 = 2$。
3. 某校机器人兴趣小组的同学在如图所示的三角形场地上开展训练.已知$AB=10$,$BC=6$,$AC=8$.机器人从点$C$出发,沿着$\triangle ABC$的边按$C→B→A→C$的方向匀速移动到点$C$停止;机器人移动速度为每秒$2$个单位长度,移动至拐角处调整方向需要$1$秒(即在$B$,$A$处拐弯时分别用时$1$秒).设机器人所用时间为$t$秒,其所在位置用点$P$表示(机器人大大小不计).
(1)点$C$到$AB$边的距离是______
(2)是否存在这样的时刻,使$\triangle PBC$为等腰三角形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(1)点$C$到$AB$边的距离是______
4.8
.(2)是否存在这样的时刻,使$\triangle PBC$为等腰三角形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
存在t使 $\triangle PBC$ 为等腰三角形。
当点P在AB上时，$BP = 2 ( t - 1 ) - 6 = 2t - 8$：
① 若 $BC = BP$，则 $2t - 8 = 6$，解得 $t = 7$；
② 若 $CB = CP$，则 $4.8 ^ { 2 } + ( t - 4 ) ^ { 2 } = 6 ^ { 2 }$，解得 $t = 7.6$ 或 $t = 0.4$（舍去）；
③ 若 $PB = CP$，则 $2t - 8 = \frac { 1 } { 2 } × 10$，解得 $t = 6.5$。
当点P在AC上时，$CB = CP$，则 $8 - [ 2 ( t - 2 ) - 16 ] = 6$，解得 $t = 11$。
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11。
当点P在AB上时，$BP = 2 ( t - 1 ) - 6 = 2t - 8$：
① 若 $BC = BP$，则 $2t - 8 = 6$，解得 $t = 7$；
② 若 $CB = CP$，则 $4.8 ^ { 2 } + ( t - 4 ) ^ { 2 } = 6 ^ { 2 }$，解得 $t = 7.6$ 或 $t = 0.4$（舍去）；
③ 若 $PB = CP$，则 $2t - 8 = \frac { 1 } { 2 } × 10$，解得 $t = 6.5$。
当点P在AC上时，$CB = CP$，则 $8 - [ 2 ( t - 2 ) - 16 ] = 6$，解得 $t = 11$。
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11。
答案：(1) 4.8
(2) 解: 存在t使 $ \triangle PBC$ 为等腰三角形。
当点P在AB上时，$BP = 2 ( t - 1 ) - 6 = 2t - 8$：
① 若 $BC = BP$，则 $2t - 8 = 6$，解得 $t = 7$；
② 若 $CB = CP$，则 $4.8 ^ { 2 } + ( t - 4 ) ^ { 2 } = 6 ^ { 2 }$，解得 $t = 7.6$ 或 $t = 0.4$（舍去）；
③ 若 $PB = CP$，则 $2t - 8 = \frac { 1 } { 2 } \times 10$，解得 $t = 6.5$。
当点P在AC上时，$CB = CP$，则 $8 - [ 2 ( t - 2 ) - 16 ] = 6$，解得 $t = 11$。
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11。
(2) 解: 存在t使 $ \triangle PBC$ 为等腰三角形。
当点P在AB上时，$BP = 2 ( t - 1 ) - 6 = 2t - 8$：
① 若 $BC = BP$，则 $2t - 8 = 6$，解得 $t = 7$；
② 若 $CB = CP$，则 $4.8 ^ { 2 } + ( t - 4 ) ^ { 2 } = 6 ^ { 2 }$，解得 $t = 7.6$ 或 $t = 0.4$（舍去）；
③ 若 $PB = CP$，则 $2t - 8 = \frac { 1 } { 2 } \times 10$，解得 $t = 6.5$。
当点P在AC上时，$CB = CP$，则 $8 - [ 2 ( t - 2 ) - 16 ] = 6$，解得 $t = 11$。
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11。