1. 如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光，小明身高1.5m，他走到离墙______的地方灯刚好发光.
答案：
4m 点拨:假设当小明走到点C的位置，头顶D与点A 的距离是5m,灯刚好自动发光.如答图，作DE⊥AB于点E,则AE=4.5−1.5=3(m),在Rt△ADE中,DE = $\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(m)$.∴BC=DE=4m,即身高1.5m的小明走到离墙4m的地方灯刚好发光.
4m 点拨:假设当小明走到点C的位置，头顶D与点A 的距离是5m,灯刚好自动发光.如答图，作DE⊥AB于点E,则AE=4.5−1.5=3(m),在Rt△ADE中,DE = $\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(m)$.∴BC=DE=4m,即身高1.5m的小明走到离墙4m的地方灯刚好发光.
2. 如图，一根长2.5m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB为0.7m，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.
(1)如果木棍的底端B向外滑出0.8m，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米?
(2)木棍在滑动的过程中，请判断A，O，B，P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由；
(3)在木棍滑动的过程中，滑动到什么位置时，△AOB的面积最大? 简述理由，并求出面积的最大值.
(1)如果木棍的底端B向外滑出0.8m，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米?
(2)木棍在滑动的过程中，请判断A，O，B，P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由；
(3)在木棍滑动的过程中，滑动到什么位置时，△AOB的面积最大? 简述理由，并求出面积的最大值.
答案：
解:(1)如答图①，设木棍滑到CD的位置.
在Rt△AOB中,AB=2.5m,BO=0.7m,
∴AO = $\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4(m)$,
∵DO=OB+BD,∴OD=1.5m.
在Rt△CDO中,
OC = $\sqrt{CD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=2(m)$,
∴AC=OA - OC=2.4−2=0.4(m),
∴木棍的顶端A沿墙下滑0.4m.
(2)AB,AP,BP,OP的长度均不变.理由:∵木棍长度一定，P为AB的中点，∴AB,AP,BP的长度不变.∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴OP的长度不变.
(3)当△AOB斜边上的高h等于中线OP的长时面积最大.如答图②,若h与OP不相等，则总有h＜OP,
故根据三角形面积公式，知h与OP相等时△AOB的面积最大,此时 $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot h=\frac{1}{2}\times2.5\times1.25 = 1.5625(m^{2})$.∴△AOB的面积的最大值为1.5625 $m^{2}$.
解:(1)如答图①，设木棍滑到CD的位置.
在Rt△AOB中,AB=2.5m,BO=0.7m,
∴AO = $\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4(m)$,
∵DO=OB+BD,∴OD=1.5m.
在Rt△CDO中,
OC = $\sqrt{CD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=2(m)$,
∴AC=OA - OC=2.4−2=0.4(m),
∴木棍的顶端A沿墙下滑0.4m.
(2)AB,AP,BP,OP的长度均不变.理由:∵木棍长度一定，P为AB的中点，∴AB,AP,BP的长度不变.∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴OP的长度不变.
(3)当△AOB斜边上的高h等于中线OP的长时面积最大.如答图②,若h与OP不相等，则总有h＜OP,
故根据三角形面积公式，知h与OP相等时△AOB的面积最大,此时 $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot h=\frac{1}{2}\times2.5\times1.25 = 1.5625(m^{2})$.∴△AOB的面积的最大值为1.5625 $m^{2}$.