2. 模型探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$CB = CA$，直线 ED 经过点 C，过点 A 作$AD⊥ED$于点 D，过点 B 作$BE⊥ED$于点 E。求证：$CD = BE$；
模型应用：
(2)已知直线$l_{1}:y = 2x + 4$与坐标轴交于点 A，B，将直线$l_{1}$绕点 A 逆时针旋转$90^{\circ}$至直线$l_{2}$，如图②，求直线$l_{2}$的函数表达式；
(3)如图③，已知点 A，B 在直线$y = \frac{1}{2}x + 4$上，且$AB = 4\sqrt{2}$。若该直线与 y 轴的交点为 M，且 M 为 AB 的中点。试判断在 x 轴上是否存在一点 C，使得$\triangle ABC$是以 AB 为斜边的等腰直角三角形。
(1)如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$CB = CA$，直线 ED 经过点 C，过点 A 作$AD⊥ED$于点 D，过点 B 作$BE⊥ED$于点 E。求证：$CD = BE$；
模型应用：
(2)已知直线$l_{1}:y = 2x + 4$与坐标轴交于点 A，B，将直线$l_{1}$绕点 A 逆时针旋转$90^{\circ}$至直线$l_{2}$，如图②，求直线$l_{2}$的函数表达式；
(3)如图③，已知点 A，B 在直线$y = \frac{1}{2}x + 4$上，且$AB = 4\sqrt{2}$。若该直线与 y 轴的交点为 M，且 M 为 AB 的中点。试判断在 x 轴上是否存在一点 C，使得$\triangle ABC$是以 AB 为斜边的等腰直角三角形。
答案：
(1)证明:∵AD⊥ED,BE⊥ED,∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠BEC=90°,∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°.
又∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC.
在△ACD与△CBE中,
$\left\{\begin{array}{l} \angle ADC=\angle BEC,\\ \angle ACD=\angle EBC,\\ CA=CB,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE(AAS),∴CD=BE.
(2)解:如答图,设点B绕点A逆时针旋转90°到点C,过点C作CD⊥x轴于点D.
由(1)可知△ACD≌△BAO,
∴CD=AO,AD=OB,
当x=0时,y=2x+4=4,∴点B(0,4),
当y=0时,2x+4=0,解得x=−2,∴点A(−2,0),
∴CD=AO=2,AD=OB=4,
∴OD=OA+AD=6,∴C(−6,2),
设直线l₂的函数表达式为y=kx+b,把A,C两点坐标代入,求得直线l₂:y=−$\frac{1}{2}$x−1.
(3)解:不存在,理由如下:
将x=0代入y=$\frac{1}{2}$x+4,得y=4,
∴点M(0,4),∴OM=4,
假设存在这样的点C;
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴点C在AB的垂直平分线与x轴的交点处，∠ACB=90°,又∵MA=MB,
∴MC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$＜4(与“垂线段最短”矛盾),
∴假设不成立,即不存在这样的点C.
(1)证明:∵AD⊥ED,BE⊥ED,∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠BEC=90°,∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°.
又∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC.
在△ACD与△CBE中,
$\left\{\begin{array}{l} \angle ADC=\angle BEC,\\ \angle ACD=\angle EBC,\\ CA=CB,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE(AAS),∴CD=BE.
(2)解:如答图,设点B绕点A逆时针旋转90°到点C,过点C作CD⊥x轴于点D.
由(1)可知△ACD≌△BAO,
∴CD=AO,AD=OB,
当x=0时,y=2x+4=4,∴点B(0,4),
当y=0时,2x+4=0,解得x=−2,∴点A(−2,0),
∴CD=AO=2,AD=OB=4,
∴OD=OA+AD=6,∴C(−6,2),
设直线l₂的函数表达式为y=kx+b,把A,C两点坐标代入,求得直线l₂:y=−$\frac{1}{2}$x−1.
(3)解:不存在,理由如下:
将x=0代入y=$\frac{1}{2}$x+4,得y=4,
∴点M(0,4),∴OM=4,
假设存在这样的点C;
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴点C在AB的垂直平分线与x轴的交点处，∠ACB=90°,又∵MA=MB,
∴MC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$＜4(与“垂线段最短”矛盾),
∴假设不成立,即不存在这样的点C.