1. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$CA$平分$\angle BCD$,$AE\perp BC$于点$E$,$AF\perp CD$交$CD$的延长线于点$F$. 求证:$\triangle ABE≌\triangle ADF$.
答案：证明：∵CA 平分∠BCD，∴∠ACE=∠ACF. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°. 又∵AC=AC，∴△ACE≌△ACF(AAS)，∴AE=AF.
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，{AB=AD,AE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，{AB=AD,AE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
2. 如图,$AB=AC$,$AE=AF$,$AE\perp EC$,$AF\perp BF$,垂足分别为$E$,$F$. 求证:$\angle 1=\angle 2$.
答案：证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，
∴△AEC 是直角三角形，△AFB 是直角三角形.
在 Rt△AEC 和 Rt△AFB 中，{AC=AB,AE=AF,
∴Rt△AEC≌Rt△AFB(HL)，∴∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC−∠BAC=∠FAB−∠BAC，即∠1=∠2.
∴△AEC 是直角三角形，△AFB 是直角三角形.
在 Rt△AEC 和 Rt△AFB 中，{AC=AB,AE=AF,
∴Rt△AEC≌Rt△AFB(HL)，∴∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC−∠BAC=∠FAB−∠BAC，即∠1=∠2.
3. 如图,已知$\angle C=\angle F=90^{\circ}$,$BC=EF$,$AE=DB$,$BC$与$EF$交于点$O$.
(1)求证:$Rt\triangle ABC≌Rt\triangle DEF$;
(2)若$\angle A=50^{\circ}$,求$\angle COE$的度数.
(1)求证:$Rt\triangle ABC≌Rt\triangle DEF$;
(2)若$\angle A=50^{\circ}$,求$\angle COE$的度数.
答案：(1) 证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，即 AB=DE，
∵∠C=∠F=90°，∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形，
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
{AB=DE,BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2) 解：∵∠C=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=90°−∠A=90°−50°=40°.
由(1)知 Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC=∠DEF，
∴∠DEF=40°，
∴∠COE=∠ABC+∠DEF=40°+40°=80°.
∴AE+EB=DB+EB，即 AB=DE，
∵∠C=∠F=90°，∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形，
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
{AB=DE,BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2) 解：∵∠C=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=90°−∠A=90°−50°=40°.
由(1)知 Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC=∠DEF，
∴∠DEF=40°，
∴∠COE=∠ABC+∠DEF=40°+40°=80°.