24. (8分)下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表,其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同,文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多$0.5$小时.设文艺小组每次活动时间为$x$小时,请根据表中信息完成下列问题.
| | 课外兴趣小组活动总时间/时 | 文艺小组活动次数 | 科技小组活动次数 |
| 七年级 | $12.5$ | $4$ | $3$ |
| 八年级 | $10.5$ | $3$ | $a$ |
| 九年级 | $9.5$ | $m$ | $n$ |
(1)科技小组每次活动时间为多长时间？
(2)求八年级科技小组活动次数$a$的值；
(3)求$m + n$的值.
| | 课外兴趣小组活动总时间/时 | 文艺小组活动次数 | 科技小组活动次数 |
| 七年级 | $12.5$ | $4$ | $3$ |
| 八年级 | $10.5$ | $3$ | $a$ |
| 九年级 | $9.5$ | $m$ | $n$ |
(1)科技小组每次活动时间为多长时间？
(2)求八年级科技小组活动次数$a$的值；
(3)求$m + n$的值.
答案：(1)依题意得$4x + 3(x - 0.5)=12.5$，解得$x=2$，故$2 - 0.5=1.5$(时)，答：科技小组每次活动时间为1.5小时；(2)根据题意得$3×2 + 1.5a=10.5$，解得$a=3$，$\therefore a$的值为3；(3)$\because$九年级课外兴趣小组活动总时间为9.5小时，$\therefore 2m + 1.5n=9.5$，$\because m$与$n$是自然数，$\therefore m=1$，$n=5$或$m=4$，$n=1$，$\therefore m + n=6$或$m + n=5$
解析：
(1) 设文艺小组每次活动时间为$x$小时，因为文艺小组每次活动时间比科技小组多$0.5$小时，所以科技小组每次活动时间为$(x - 0.5)$小时。
根据七年级数据：$4x + 3(x - 0.5) = 12.5$，
解得$x = 2$，则科技小组每次活动时间为$2 - 0.5 = 1.5$小时。
答：科技小组每次活动时间为$1.5$小时。
(2) 由(1)知文艺小组每次$2$小时，科技小组每次$1.5$小时。
根据八年级数据：$3×2 + 1.5a = 10.5$，
解得$a = 3$。
(3) 根据九年级数据：$2m + 1.5n = 9.5$，整理得$4m + 3n = 19$（$m,n$为自然数）。
当$m = 1$时，$n = 5$；当$m = 4$时，$n = 1$。
故$m + n = 1 + 5 = 6$或$m + n = 4 + 1 = 5$。
综上，$m + n$的值为$5$或$6$。
根据七年级数据：$4x + 3(x - 0.5) = 12.5$，
解得$x = 2$，则科技小组每次活动时间为$2 - 0.5 = 1.5$小时。
答：科技小组每次活动时间为$1.5$小时。
(2) 由(1)知文艺小组每次$2$小时，科技小组每次$1.5$小时。
根据八年级数据：$3×2 + 1.5a = 10.5$，
解得$a = 3$。
(3) 根据九年级数据：$2m + 1.5n = 9.5$，整理得$4m + 3n = 19$（$m,n$为自然数）。
当$m = 1$时，$n = 5$；当$m = 4$时，$n = 1$。
故$m + n = 1 + 5 = 6$或$m + n = 4 + 1 = 5$。
综上，$m + n$的值为$5$或$6$。
25. (10分)定义：从$\angle\alpha(45^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$的顶点出发,在$\angle\alpha$的内部作一条射线,若该射线将$\angle\alpha$分得的两个角中有一个角与$\angle\alpha$互为余角,则称该射线为$\angle\alpha$的“分余线”.(1)如图$①,\angle AOB = 70^{\circ},\angle AOC = 50^{\circ},$请判断OC是否为$\angle AOB$的“分余线”,并说明理由；(2)若OC平分$\angle AOB,$且OC为$\angle AOB$的“分余线”,则$\angle AOB = $
$60^{\circ}$
；(3)如图$②,\angle AOB = 155^{\circ},$在$\angle AOB$的内部作射线OC,OM,ON,使OM为$\angle AOC$的平分线,ON为$\angle BOC$的“分余线”.当OC为$\angle MON$的“分余线”时,求$\angle AOC$的度数.答案：(1)解：$OC$是$\angle AOB$的“分余线”，理由如下：$\because \angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，$\therefore \angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$，$\therefore \angle BOC+\angle AOB=20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore OC$是$\angle AOB$的“分余线”；(2)$60^{\circ}$；(3)解：设$\angle AOC=2x$，$\because OM$为$\angle AOC$的平分线，$\therefore \angle COM=\frac{1}{2}\angle AOC=x$，$\because \angle AOB=155^{\circ}$，$\therefore \angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=155^{\circ}-2x$，$\because ON$为$\angle BOC$的“分余线”，$OC$为$\angle MON$的“分余线”，分情况讨论：①$\angle BON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle MOC+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle BON=90^{\circ}-(155^{\circ}-2x)=2x - 65^{\circ}$，$\therefore \angle MON=\angle BOM - \angle BON=155^{\circ}-x-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-3x$，$\therefore x + 220^{\circ}-3x=90^{\circ}$，解得$x=65^{\circ}$，此时$\angle BOC=25^{\circ}$，不符合题意，舍去；②$\angle BON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle CON+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle BON=2x - 65^{\circ}$，$\because \angle CON=\angle BOC - \angle BON=155^{\circ}-2x-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-4x$，$\therefore 220^{\circ}-4x + 220^{\circ}-3x=90^{\circ}$，解得$x=50^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=50^{\circ}×2=100^{\circ}$；③$\angle CON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle MOC+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle CON=90^{\circ}-\angle BOC=90^{\circ}-(155^{\circ}-2x)=2x - 65^{\circ}$，$\therefore \angle MON=\angle MOC+\angle CON=x + 2x - 65^{\circ}=3x - 65^{\circ}$，$\therefore x + 3x - 65^{\circ}=90^{\circ}$，解得$x=38.75^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=38.75^{\circ}×2=77.5^{\circ}$；④$\angle CON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle CON+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle CON=2x - 65^{\circ}$，且$\angle MON=\angle BOC$，$\therefore \angle MOC=\angle BON$，$\because \angle BON=(155^{\circ}-2x)-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-4x$，$\therefore x=220^{\circ}-4x$，解得$x=44^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=44^{\circ}×2=88^{\circ}$，综上所述，满足条件的$\angle AOC$的度数为$100^{\circ}$或$77.5^{\circ}$或$88^{\circ}$