20. (4分)解方程.
(1)$3(2x - 1) = 15$； (2)$\frac{x - 7}{3}-\frac{1 + x}{2}= 1$.
(1)$3(2x - 1) = 15$； (2)$\frac{x - 7}{3}-\frac{1 + x}{2}= 1$.
答案：(1)$x=3$；(2)$x=-23$
解析：
(1)解：$3(2x - 1) = 15$
$2x - 1 = 5$
$2x = 6$
$x = 3$
(2)解：$\frac{x - 7}{3} - \frac{1 + x}{2} = 1$
$2(x - 7) - 3(1 + x) = 6$
$2x - 14 - 3 - 3x = 6$
$-x - 17 = 6$
$-x = 23$
$x = -23$
$2x - 1 = 5$
$2x = 6$
$x = 3$
(2)解：$\frac{x - 7}{3} - \frac{1 + x}{2} = 1$
$2(x - 7) - 3(1 + x) = 6$
$2x - 14 - 3 - 3x = 6$
$-x - 17 = 6$
$-x = 23$
$x = -23$
21. (6分)线段上一点把这条线段分成两条线段,若分成的两条线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的$2$倍,则称这个点是这条线段的“倍点”.
(1)线段的中点
(2)若$AB = 16cm$,点$C是线段AB$的“倍点”,求$AC$的长.
(1)线段的中点
不是
这条线段的“倍点”；(填“是”或“不是”)(2)若$AB = 16cm$,点$C是线段AB$的“倍点”,求$AC$的长.
解：当$BC=2AC$时，$AC=\frac{16}{3}\text{cm}$；当$AC=2BC$时，$AC=\frac{32}{3}\text{cm}$
答案：(1)不是；(2)解：当$BC=2AC$时，$AC=\frac{16}{3}\text{cm}$；当$AC=2BC$时，$AC=\frac{32}{3}\text{cm}$
解析：
(1)不是
(2)解：因为点$C$是线段$AB$的“倍点”，$AB = 16cm$，所以有两种情况：
情况一：当$BC = 2AC$时，$AC + BC=AB$，即$AC + 2AC=16$，$3AC = 16$，解得$AC=\frac{16}{3}cm$；
情况二：当$AC = 2BC$时，$AC + BC=AB$，即$2BC + BC=16$，$3BC = 16$，$BC=\frac{16}{3}cm$，所以$AC=2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}cm$。
综上，$AC$的长为$\frac{16}{3}cm$或$\frac{32}{3}cm$。
(2)解：因为点$C$是线段$AB$的“倍点”，$AB = 16cm$，所以有两种情况：
情况一：当$BC = 2AC$时，$AC + BC=AB$，即$AC + 2AC=16$，$3AC = 16$，解得$AC=\frac{16}{3}cm$；
情况二：当$AC = 2BC$时，$AC + BC=AB$，即$2BC + BC=16$，$3BC = 16$，$BC=\frac{16}{3}cm$，所以$AC=2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}cm$。
综上，$AC$的长为$\frac{16}{3}cm$或$\frac{32}{3}cm$。
22. (8分)用“$\otimes$”定义一种新运算：对于任意有理数$a和b$,规定$a\otimes b = ab^{2}+2ab + a$.
如：$1\otimes 3 = 1×3^{2}+2×1×3 + 1 = 16$.
(1)求$(-2)\otimes 3$的值；
(2)若$\frac{a + 1}{2}\otimes 3 = 8$,求$a$的值；
(3)若$2\otimes x = m$,$(\frac{1}{4}x)\otimes 3 = n$(其中$x$为有理数),试比较$m$,$n$的大小.
如：$1\otimes 3 = 1×3^{2}+2×1×3 + 1 = 16$.
(1)求$(-2)\otimes 3$的值；
(2)若$\frac{a + 1}{2}\otimes 3 = 8$,求$a$的值；
(3)若$2\otimes x = m$,$(\frac{1}{4}x)\otimes 3 = n$(其中$x$为有理数),试比较$m$,$n$的大小.
答案：(1)$(-2)\otimes 3=(-2)×3^{2}+2×(-2)×3 + (-2)=-32$；(2)由题意得$\frac{a + 1}{2}×9 + 2×\frac{a + 1}{2}×3+\frac{a + 1}{2}=8$，解得$a=0$；(3)由题意得$2x^{2}+4x + 2=m$，$(\frac{1}{4}x)\otimes 3=4x=n$，$\therefore m - n=2x^{2}+2＞0$，$\therefore m＞n$
解析：
(1) $(-2)\otimes 3 = (-2)×3^{2} + 2×(-2)×3 + (-2)$
$= (-2)×9 + (-12) + (-2)$
$= -18 - 12 - 2$
$= -32$
(2) 由题意得：
$\frac{a + 1}{2}×3^{2} + 2×\frac{a + 1}{2}×3 + \frac{a + 1}{2} = 8$
$\frac{a + 1}{2}×9 + 3(a + 1) + \frac{a + 1}{2} = 8$
$\frac{9(a + 1) + 6(a + 1) + (a + 1)}{2} = 8$
$\frac{16(a + 1)}{2} = 8$
$8(a + 1) = 8$
$a + 1 = 1$
解得 $a = 0$
(3) 由题意得：
$m = 2\otimes x = 2x^{2} + 2×2×x + 2 = 2x^{2} + 4x + 2$
$n = (\frac{1}{4}x)\otimes 3 = \frac{1}{4}x×3^{2} + 2×\frac{1}{4}x×3 + \frac{1}{4}x$
$= \frac{1}{4}x×9 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}x$
$= \frac{9x}{4} + \frac{6x}{4} + \frac{x}{4} = 4x$
$m - n = 2x^{2} + 4x + 2 - 4x = 2x^{2} + 2$
$\because x^{2} \geq 0$
$\therefore 2x^{2} + 2 \geq 2 ＞ 0$
$\therefore m ＞ n$
$= (-2)×9 + (-12) + (-2)$
$= -18 - 12 - 2$
$= -32$
(2) 由题意得：
$\frac{a + 1}{2}×3^{2} + 2×\frac{a + 1}{2}×3 + \frac{a + 1}{2} = 8$
$\frac{a + 1}{2}×9 + 3(a + 1) + \frac{a + 1}{2} = 8$
$\frac{9(a + 1) + 6(a + 1) + (a + 1)}{2} = 8$
$\frac{16(a + 1)}{2} = 8$
$8(a + 1) = 8$
$a + 1 = 1$
解得 $a = 0$
(3) 由题意得：
$m = 2\otimes x = 2x^{2} + 2×2×x + 2 = 2x^{2} + 4x + 2$
$n = (\frac{1}{4}x)\otimes 3 = \frac{1}{4}x×3^{2} + 2×\frac{1}{4}x×3 + \frac{1}{4}x$
$= \frac{1}{4}x×9 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}x$
$= \frac{9x}{4} + \frac{6x}{4} + \frac{x}{4} = 4x$
$m - n = 2x^{2} + 4x + 2 - 4x = 2x^{2} + 2$
$\because x^{2} \geq 0$
$\therefore 2x^{2} + 2 \geq 2 ＞ 0$
$\therefore m ＞ n$
23. (8分)如图①,在边长为$acm的正方形硬纸板的4$个角上剪去相同的小正方形,这样可制作一个无盖的长方体纸盒,设底面边长为$xcm$.
(1)这个纸盒的底面积是
(2)$x$的部分取值及相应的纸盒容积如下表所示：
| $x/cm$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| 纸盒容积$/cm^{3}$ | | $m$ | | | $72$ | | | $n$ | |
①请通过表格中的数据计算：$m = $
②猜想：当$x$逐渐增大时,纸盒容积的变化情况是
(3)若将正方形硬纸板按图②方式裁剪,亦可制作一个无盖的长方体纸盒.
①若为该纸盒制作一个长方形盖子,则该长方形的两边长分别是
②已知$A$,$B$,$C$,$D四个面上分别标有整式2(m + 2)$,$m$,$-3$,$6$,且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等,求$m$的值.
(1)这个纸盒的底面积是
$x^{2}$
$cm^{2}$,高是$\frac{a - x}{2}$
$cm$.(用含$a$,$x$的代数式表示)(2)$x$的部分取值及相应的纸盒容积如下表所示：
| $x/cm$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| 纸盒容积$/cm^{3}$ | | $m$ | | | $72$ | | | $n$ | |
①请通过表格中的数据计算：$m = $
$16$
,$n = $$\frac{81}{2}$
；②猜想：当$x$逐渐增大时,纸盒容积的变化情况是
先随着$x$的增大而增大，后随着$x$的增大而减小
.(3)若将正方形硬纸板按图②方式裁剪,亦可制作一个无盖的长方体纸盒.
①若为该纸盒制作一个长方形盖子,则该长方形的两边长分别是
$y$
$cm$,$a - 2y$
$cm$；(用含$a$,$y$的代数式表示)②已知$A$,$B$,$C$,$D四个面上分别标有整式2(m + 2)$,$m$,$-3$,$6$,且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等,求$m$的值.
解：由题图②可知$A$与$C$相对，$B$与$D$相对，由题意得$2(m + 2)+(-3)=m + 6$，解得$m=5$，$\therefore m$的值为5
答案：(1)$x^{2}$，$\frac{a - x}{2}$；(2)①$m=16$，$n=\frac{81}{2}$；②先随着$x$的增大而增大，后随着$x$的增大而减小；(3)①$y$，$a - 2y$；②解：由题图②可知$A$与$C$相对，$B$与$D$相对，由题意得$2(m + 2)+(-3)=m + 6$，解得$m=5$，$\therefore m$的值为5