1. (1)【观察思考】如图,线段AB上有两个点C,D,请分别写出以点A,B,C,D为端点的线段,并计算图中共有多少条线段;
(2)【模型构建】如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段? 请说明你结论的正确性;
(3)【拓展应用】8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛?
(2)【模型构建】如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段? 请说明你结论的正确性;
(3)【拓展应用】8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛?
答案：1.解:(1)以点 A 为左端点,向右的线段有线段 AB、线段 AC、线段 AD；
以点 C 为左端点,向右的线段有线段 CD、线段 CB；
以点 D 为左端点的线段有线段 DB.
一共有 3+2+1=6(条)线段.
(2)一共有$\frac {m(m-1)}{2}$条线段.理由如下:
设线段上有 m 个点,该线段上共有线段 x 条,
则$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\cdots +3+2+1,$
倒序排列$x=1+2+3+\cdots +(m-3)+(m-2)+(m-1),$
$\therefore 2x=\underbrace{m+m+\cdots +m}_{(m-1)个m}=m(m-1),$
$\therefore x=\frac {m(m-1)}{2}.$
(3)把 8 位同学看作直线上的 8 个点,每两位同学之间的一场比赛看作一条线段,
直线上 8 个点所构成的线段条数就等于比赛的场数.
因此一共要进行$\frac {8×(8-1)}{2}=28$(场)比赛.
以点 C 为左端点,向右的线段有线段 CD、线段 CB；
以点 D 为左端点的线段有线段 DB.
一共有 3+2+1=6(条)线段.
(2)一共有$\frac {m(m-1)}{2}$条线段.理由如下:
设线段上有 m 个点,该线段上共有线段 x 条,
则$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\cdots +3+2+1,$
倒序排列$x=1+2+3+\cdots +(m-3)+(m-2)+(m-1),$
$\therefore 2x=\underbrace{m+m+\cdots +m}_{(m-1)个m}=m(m-1),$
$\therefore x=\frac {m(m-1)}{2}.$
(3)把 8 位同学看作直线上的 8 个点,每两位同学之间的一场比赛看作一条线段,
直线上 8 个点所构成的线段条数就等于比赛的场数.
因此一共要进行$\frac {8×(8-1)}{2}=28$(场)比赛.
2. (2024秋·阜阳期中)解答下列各题:
(1)如图,在$\angle AOB$中,以O为顶点引射线,补充完整下表:
| $\angle AOB$内射线的条数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 角的总个数 | | | | |
(2)若$\angle AOB$内射线的条数是n,请用含n的式子表示上面的结论;
(3)若$\angle AOB$内射线的条数是2025,则角的总个数是多少?
(1)如图,在$\angle AOB$中,以O为顶点引射线,补充完整下表:
| $\angle AOB$内射线的条数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 角的总个数 | | | | |
(2)若$\angle AOB$内射线的条数是n,请用含n的式子表示上面的结论;
(3)若$\angle AOB$内射线的条数是2025,则角的总个数是多少?
答案：
2.解:(1)填表如下:
(2)若$\angle AOB$内射线的条数是n,则角的总个数为$\frac {1}{2}(n+$1)$(n+2).$
(3)当$n=2025$时,
$\frac {1}{2}(n+1)(n+2)=\frac {1}{2}×2026×2027=2053351.$
即角的总个数为 2053351.
2.解:(1)填表如下:
(2)若$\angle AOB$内射线的条数是n,则角的总个数为$\frac {1}{2}(n+$1)$(n+2).$
(3)当$n=2025$时,
$\frac {1}{2}(n+1)(n+2)=\frac {1}{2}×2026×2027=2053351.$
即角的总个数为 2053351.