1. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC与∠ACB$的平分线交于点O,$∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC$的平分线相交于点D,与$∠ABC$的外角平分线相交于点E,有下列结论：①$∠BOC= 90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A$；②$∠D= \frac {1}{2}∠A$；③$∠A= \frac {2}{3}∠E$；④$∠E+∠DCF= 90^{\circ }+∠ABD$.其中一定正确的是( )
A.①②④
B.①②③
C.①②
D.①②③④
A.①②④
B.①②③
C.①②
D.①②③④
答案：
1.A 点拨:∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠ABD=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A,故①正确;
∵CD平分∠ACF,∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF,
∴∠ACF=∠ABC+∠A,∠DCF=∠OBC+∠D,
∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A,
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A,故②正确;
如答图，∵∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠ACB+∠A+∠ABC=180°,
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.
∵BE平分∠MBC,CE平分∠BCN,
∴∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE,
∴∠EBC+∠BCE=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠E=180°−∠EBC−∠ECB=180°−90°−$\frac{1}{2}$∠A=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠A=180°−2∠E,故③错误;
∵∠DCF=∠DBC+∠D,∴∠E+∠DCF=90°−$\frac{1}{2}$∠A+∠DBC+$\frac{1}{2}$∠A=90°+∠DBC.
∵∠ABD=∠DBC,
∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD,故④正确.
1.A 点拨:∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠ABD=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A,故①正确;
∵CD平分∠ACF,∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF,
∴∠ACF=∠ABC+∠A,∠DCF=∠OBC+∠D,
∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A,
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A,故②正确;
如答图，∵∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠ACB+∠A+∠ABC=180°,
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.
∵BE平分∠MBC,CE平分∠BCN,
∴∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE,
∴∠EBC+∠BCE=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠E=180°−∠EBC−∠ECB=180°−90°−$\frac{1}{2}$∠A=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠A=180°−2∠E,故③错误;
∵∠DCF=∠DBC+∠D,∴∠E+∠DCF=90°−$\frac{1}{2}$∠A+∠DBC+$\frac{1}{2}$∠A=90°+∠DBC.
∵∠ABD=∠DBC,
∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD,故④正确.
2. (2024春·泰兴期末)如图,点B,C分别在AM,AN上运动(不与点A重合),CD是$∠BCN$的平分线,CD的反向延长线交$∠ABC$的平分线于点P.有下列条件：①$∠ABC+∠ACB$；②$∠A$；③$∠NCD-∠ABP$；④$∠ABC$的值.其中,不能求$∠P$大小的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案：2.D 点拨:∵CD平分∠BCN,BE平分∠ABC,∴∠NCD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCN,∠ABE=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠NCD=∠P+∠CBP,
∴∠P=∠NCD−∠CBP=$\frac{1}{2}$∠BCN−$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠BCN=∠A+∠ABC,∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A,故②可以求出∠P,不符合题意;
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A,而已知∠A可以求出∠P,∴已知∠ABC+∠ACB也可以求出∠P,所以①不符合题意;
∵∠NCD=∠P+∠CBP,∠CBP=∠ABP,
∴∠P=∠NCD−∠ABP,因此已知∠NCD−∠ABP,也可以求出∠P,所以③不符合题意;
当已知∠ABC时，∠A的大小不能确定，而∠P=$\frac{1}{2}$∠A,因此已知∠ABC的大小时，不能确定∠P的大小，所以④符合题意.
∵∠NCD=∠P+∠CBP,
∴∠P=∠NCD−∠CBP=$\frac{1}{2}$∠BCN−$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠BCN=∠A+∠ABC,∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A,故②可以求出∠P,不符合题意;
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A,而已知∠A可以求出∠P,∴已知∠ABC+∠ACB也可以求出∠P,所以①不符合题意;
∵∠NCD=∠P+∠CBP,∠CBP=∠ABP,
∴∠P=∠NCD−∠ABP,因此已知∠NCD−∠ABP,也可以求出∠P,所以③不符合题意;
当已知∠ABC时，∠A的大小不能确定，而∠P=$\frac{1}{2}$∠A,因此已知∠ABC的大小时，不能确定∠P的大小，所以④符合题意.