10. 古希腊数学家把数$1,3,6,10,15,21 … …$叫三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为$a_1$,第二个三角形数记为$a_2, …$, 第$n个三角形数记为a_n$, 则$a_{10}= $
55
,$a_n= $$\frac{n(n+1)}{2}$
(用含$n$的代数式表示).答案：55 $\frac{n(n+1)}{2}$
11. (15分)若代数式$6 x^n-(m-1) x+2是关于x$的三次二项式,求代数式$(m-n)^n$的值.
答案：解:由题意,得$n=3$且$-(m-1)=0$,解得$m=1$,故$(m-n)^{n}=(1-3)^{3}=(-2)^{3}=-8$.
12. (15分)根据下面$a, b$的值,求代数式$a b^2-a^2 b$的值:
(1)$a= 4, b= 2$;
(2)$a= -2, b= -3$.
(1)$a= 4, b= 2$;
(2)$a= -2, b= -3$.
答案：
(1)因为$a=4,b=2$,所以$ab^{2}-a^{2}b=4×2^{2}-4^{2}×2=16-32=-16.$
(2)因为$a=-2,b=-3$,所以$ab^{2}-a^{2}b=(-2)×(-3)^{2}-(-2)^{2}×(-3)=-18+12=-6.$
(1)因为$a=4,b=2$,所以$ab^{2}-a^{2}b=4×2^{2}-4^{2}×2=16-32=-16.$
(2)因为$a=-2,b=-3$,所以$ab^{2}-a^{2}b=(-2)×(-3)^{2}-(-2)^{2}×(-3)=-18+12=-6.$
13. (20分)【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按如图方式拼成长方形:
第①个图形中有2张正方形纸片;
第②个图形中有$2(1+2)= 2+4= 6$ (张)正方形纸片;
第③个图形中有$2(1+2+3)= 2+4+6= 12$ (张)正方形纸片;
第④个图形中有$2(1+2+3+4)= 2+4+6+8= 20$ (张)正方形纸片;
......
请你观察图形与算式,解决下列问题:
【规律归纳】
(1)第⑦个图形中有
(2)根据上面的发现我们可以猜想: $2+4+6+…+2 n= $
【规律应用】
(3)根据你的发现计算: (1)$2+4+6+…+2000$; (2)$202+204+206+…+600$.
第①个图形中有2张正方形纸片;
第②个图形中有$2(1+2)= 2+4= 6$ (张)正方形纸片;
第③个图形中有$2(1+2+3)= 2+4+6= 12$ (张)正方形纸片;
第④个图形中有$2(1+2+3+4)= 2+4+6+8= 20$ (张)正方形纸片;
......
请你观察图形与算式,解决下列问题:
【规律归纳】
(1)第⑦个图形中有
56
张正方形纸片;(2)根据上面的发现我们可以猜想: $2+4+6+…+2 n= $
$n(n+1)$
; (用含$n$的代数式表示)【规律应用】
(3)根据你的发现计算: (1)$2+4+6+…+2000$; (2)$202+204+206+…+600$.
解:①原式$=1000×1001=1001000$.②原式$=2+4+6+\cdots +200+202+204+206+\cdots +600-(2+4+6+\cdots +200)=300×301-100×101=90300-10100=80200.$
答案：
(1)56
(2)$n(n+1)$
(3)解:①原式$=1000×1001=1001000$.②原式$=2+4+6+\cdots +200+202+204+206+\cdots +600-(2+4+6+\cdots +200)=300×301-100×101=90300-10100=80200.$
(1)56
(2)$n(n+1)$
(3)解:①原式$=1000×1001=1001000$.②原式$=2+4+6+\cdots +200+202+204+206+\cdots +600-(2+4+6+\cdots +200)=300×301-100×101=90300-10100=80200.$