例 从楼下走过一些台阶到楼上,规定每一步只能跨1级或2级台阶。从楼下到楼上共10级台阶,有多少种不同的走法?
解析
只有1级台阶有1种走法;只有2级台阶有2种走法;只有3级台阶有3种走法;只有4级台阶有5种走法(迈第1步时可跨1级,也可跨2级,即分成两类:第1步跨1级还剩3级,上面已知3级台阶有3种走法;第1步跨2级还剩2级,上面已知2级台阶有2种走法,所以4级台阶共有3+2= 5(种)走法)。其递推公式为每一项(大于2)等于前两项的和,规律为:
答案：有89种不同的走法。
解析
只有1级台阶有1种走法;只有2级台阶有2种走法;只有3级台阶有3种走法;只有4级台阶有5种走法(迈第1步时可跨1级,也可跨2级,即分成两类:第1步跨1级还剩3级,上面已知3级台阶有3种走法;第1步跨2级还剩2级,上面已知2级台阶有2种走法,所以4级台阶共有3+2= 5(种)走法)。其递推公式为每一项(大于2)等于前两项的和,规律为:
答案：有89种不同的走法。
答案：解析：
本题可通过分析前几级台阶的走法数量，找出其规律，进而得出$10$级台阶的不同走法数量。
已知只有$1$级台阶时，有$1$种走法；只有$2$级台阶时，有$2$种走法；只有$3$级台阶时，走第$1$步可跨$1$级，也可跨$2$级。若第$1$步跨$1$级，还剩$2$级，$2$级台阶有$2$种走法；若第$1$步跨$2$级，还剩$1$级，$1$级台阶有$1$种走法，所以$3$级台阶共有$1 + 2 = 3$（种）走法。同理，$4$级台阶时，第$1$步跨$1$级，还剩$3$级，$3$级台阶有$3$种走法；第$1$步跨$2$级，还剩$2$级，$2$级台阶有$2$种走法，所以$4$级台阶共有$3 + 2 = 5$（种）走法。
由此可归纳出递推公式：每一项（大于$2$）等于前两项的和，即$a_{n}=a_{n - 1}+a_{n - 2}$（$n\geq3$，$a_{n}$表示$n$级台阶的走法数量）。
根据此规律依次计算可得：
$5$级台阶的走法有$5 + 3 = 8$（种）；
$6$级台阶的走法有$8 + 5 = 13$（种）；
$7$级台阶的走法有$13 + 8 = 21$（种）；
$8$级台阶的走法有$21 + 13 = 34$（种）；
$9$级台阶的走法有$34 + 21 = 55$（种）；
$10$级台阶的走法有$55 + 34 = 89$（种）。
答案：有$89$种不同的走法。
本题可通过分析前几级台阶的走法数量，找出其规律，进而得出$10$级台阶的不同走法数量。
已知只有$1$级台阶时，有$1$种走法；只有$2$级台阶时，有$2$种走法；只有$3$级台阶时，走第$1$步可跨$1$级，也可跨$2$级。若第$1$步跨$1$级，还剩$2$级，$2$级台阶有$2$种走法；若第$1$步跨$2$级，还剩$1$级，$1$级台阶有$1$种走法，所以$3$级台阶共有$1 + 2 = 3$（种）走法。同理，$4$级台阶时，第$1$步跨$1$级，还剩$3$级，$3$级台阶有$3$种走法；第$1$步跨$2$级，还剩$2$级，$2$级台阶有$2$种走法，所以$4$级台阶共有$3 + 2 = 5$（种）走法。
由此可归纳出递推公式：每一项（大于$2$）等于前两项的和，即$a_{n}=a_{n - 1}+a_{n - 2}$（$n\geq3$，$a_{n}$表示$n$级台阶的走法数量）。
根据此规律依次计算可得：
$5$级台阶的走法有$5 + 3 = 8$（种）；
$6$级台阶的走法有$8 + 5 = 13$（种）；
$7$级台阶的走法有$13 + 8 = 21$（种）；
$8$级台阶的走法有$21 + 13 = 34$（种）；
$9$级台阶的走法有$34 + 21 = 55$（种）；
$10$级台阶的走法有$55 + 34 = 89$（种）。
答案：有$89$种不同的走法。
1. 实验小学大剧场门前共有5级台阶,规定一步只能走一级或两级,那么走过这些台阶一共有多少种不同的方法?
答案：1+4+3=8(种)
【提示】用数组表示不同的走法：(1,1,1,1,1)表示每步只走一级，有1种方法；(2,1,1,1)、(1,2,1,1)、(1,1,2,1)、(1,1,1,2)表示有一步走两级台阶，其他几步都走一级台阶，有4种方法；(2,2,1)、(1,2,2)、(2,1,2)表示有两步各走两级台阶，有一步走一级台阶，有3种方法。因此，走过这些台阶一共有8种不同的方法。
【提示】用数组表示不同的走法：(1,1,1,1,1)表示每步只走一级，有1种方法；(2,1,1,1)、(1,2,1,1)、(1,1,2,1)、(1,1,1,2)表示有一步走两级台阶，其他几步都走一级台阶，有4种方法；(2,2,1)、(1,2,2)、(2,1,2)表示有两步各走两级台阶，有一步走一级台阶，有3种方法。因此，走过这些台阶一共有8种不同的方法。
2. 三位数中,恰好有两个数字相同的数一共有多少个?
答案：9×9+9×9+(9+8×9)=243(个)
【提示】根据题意，符合要求的数可以先分成三类：百位和十位相同；百位和个位相同；十位和个位相同。百位和十位是“11”的有9个：110,112,113,…,119，同样地，百位和十位是“22”的有9个，…，百位和十位是“99”的有9个；百位和个位是“11”的有9个，同样地，百位和个位是“22”的有9个，…，百位和个位是“99”的有9个；十位和个位是“00”的有9个，十位和个位是“11”的有8个，同样地，十位和个位是“22”的有8个，…，十位和个位是“99”的有8个。因此三位数中，恰好有两个数字相同的数一共有9×9+9×9+(9+8×9)=243(个)。
【提示】根据题意，符合要求的数可以先分成三类：百位和十位相同；百位和个位相同；十位和个位相同。百位和十位是“11”的有9个：110,112,113,…,119，同样地，百位和十位是“22”的有9个，…，百位和十位是“99”的有9个；百位和个位是“11”的有9个，同样地，百位和个位是“22”的有9个，…，百位和个位是“99”的有9个；十位和个位是“00”的有9个，十位和个位是“11”的有8个，同样地，十位和个位是“22”的有8个，…，十位和个位是“99”的有8个。因此三位数中，恰好有两个数字相同的数一共有9×9+9×9+(9+8×9)=243(个)。
3. 1995的各个数位上的数字和是1+9+9+5= 24。那么,在小于2000的四位数中各个数位上的数字和等于24的数共有多少个?
答案：1+2+3+4+5=15(个)
【提示】小于2000的四位数，千位数字是1，要使数字和为24，只需其余三位数字的和是23。因为十位、个位数字的和最多为9+9=18，因此，百位数字至少是5。，分类如下：①百位为5时，有1599一个；②百位为6时，有1689、1698两个；③百位为7时，有1779、1788、1797三个；④百位为8时，有1869、1878、1887、1896四个；⑤百位为9时，有1959、1968、1977、1986、1995五个。因此小于2000的四位数中各位数字和等于24的数共有1+2+3+4+5=15(个)。
【提示】小于2000的四位数，千位数字是1，要使数字和为24，只需其余三位数字的和是23。因为十位、个位数字的和最多为9+9=18，因此，百位数字至少是5。，分类如下：①百位为5时，有1599一个；②百位为6时，有1689、1698两个；③百位为7时，有1779、1788、1797三个；④百位为8时，有1869、1878、1887、1896四个；⑤百位为9时，有1959、1968、1977、1986、1995五个。因此小于2000的四位数中各位数字和等于24的数共有1+2+3+4+5=15(个)。
4. 一位农民1月份买了一对刚出生的小兔,1个月后,这对小兔长成了大兔;1个月后,又生下一对小兔。照这样下去,12月份,他家一共有多少只兔子?
答案：兔子对数规律为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。所以，12月份(即11个月后)就变成了144对兔子，共144×2=288(只)。
【提示】初始是1对小兔，1个月后是1对大兔，2个月后是1对大兔+1对小兔；3个月后是2对大兔+1对小兔；4个月后是3对大兔+2对小兔……兔子每个月的对数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。所以12月份(即11个月后)就变成了144对兔子，共144×2=288(只)。
【提示】初始是1对小兔，1个月后是1对大兔，2个月后是1对大兔+1对小兔；3个月后是2对大兔+1对小兔；4个月后是3对大兔+2对小兔……兔子每个月的对数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。所以12月份(即11个月后)就变成了144对兔子，共144×2=288(只)。
5. 小悦买了10块巧克力,她每天最少吃一块,最多吃3块,直到吃完,共有多少种吃法?
答案：274种 【提示】递推法。吃1块只有1种吃法；吃2块有1+1和2两种吃法；吃3块有1+1+1，1+2，2+1，3共4种吃法；吃4块有1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2，1+3，3+1共7种吃法；吃5块有2+4+7=13(种)吃法；吃6块有4+7+13=24(种)吃法……依照这一规律，列表写出吃各块(1～10块)时的吃法数如下。最后递推得到吃10块巧克力有274种吃法。
块数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吃法 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274
块数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吃法 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274