答案：解：
∵ $ CF \perp FG $，
∴ $ \angle CFG = 90^\circ $。
∵ $ CD // FG $，
∴ $ \angle DCF + \angle CFG = 180^\circ $（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $ \angle DCF = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $。
∵ $ \angle ACD = 66.5^\circ $，且 $ AB \perp AC $，
∴ $ \angle ACF = \angle DCF - \angle ACD = 90^\circ - 66.5^\circ = 23.5^\circ $。
∵ $ EG // AB $，$ AB \perp AC $，
∴ $ EG \perp AC $（两直线平行，同位角相等），
∴ $ \angle GEC = \angle ACF = 23.5^\circ $（内错角相等）。
在 $ \triangle EFG $ 中，$ \angle EGF = 90^\circ - \angle GEC = 90^\circ - 23.5^\circ = 66.5^\circ $。
答：$ \angle EGF $ 的度数为 $ 66.5^\circ $。