1. (2025·江苏苏州期末)定义:若$10^{x}= N$,则$x= log_{10}N$,x称为以10为底的N的对数,简记为$lgN$,其满足运算法则:$lgM+lgN= lg(M\cdot N)(M＞0,N＞0)$.例如:因为$10^{2}= 100$,所以$2= lg100$,即$lg100= 2;lg4+lg3= lg12$.根据上述定义和运算法则,计算$(lg2)^{2}+lg2\cdot lg5+lg5$的结果为 (
A.5
B.2
C.1
D.0
C
)A.5
B.2
C.1
D.0
答案：【解析】：
本题考查了新定义的对数运算。
根据对数的定义和运算法则，特别是$\lg M + \lg N = \lg(M \cdot N)$，来解答此题。
首先，将表达式$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5$拆分为两部分，即$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5$和$\lg 5$。
观察前两部分，发现它们都包含$\lg 2$，因此可以考虑提取公因子$\lg 2$，得到：
$\lg 2 × (\lg 2 + \lg 5) + \lg 5$，
根据对数的运算法则，$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 × 5) = \lg 10$。
由于$\lg 10 = 1$（因为$10^1 = 10$），所以上式可以进一步简化为：
$\lg 2 × 1 + \lg 5 = \lg 2 + \lg 5$，
再次应用对数的运算法则，得到：$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 × 5) = \lg 10 = 1$。
所以，$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5 = 1$。
【答案】：C。
本题考查了新定义的对数运算。
根据对数的定义和运算法则，特别是$\lg M + \lg N = \lg(M \cdot N)$，来解答此题。
首先，将表达式$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5$拆分为两部分，即$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5$和$\lg 5$。
观察前两部分，发现它们都包含$\lg 2$，因此可以考虑提取公因子$\lg 2$，得到：
$\lg 2 × (\lg 2 + \lg 5) + \lg 5$，
根据对数的运算法则，$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 × 5) = \lg 10$。
由于$\lg 10 = 1$（因为$10^1 = 10$），所以上式可以进一步简化为：
$\lg 2 × 1 + \lg 5 = \lg 2 + \lg 5$，
再次应用对数的运算法则，得到：$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 × 5) = \lg 10 = 1$。
所以，$(\lg 2)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5 = 1$。
【答案】：C。
2. 亮点原创 在数的学习中,我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究一种特殊的数——亮点数.定义:若一个两位数恰好等于它的各数位上数字之和的5倍,则称这个两位数为亮点数.若一个亮点数的个位数字比十位数字大1,则这个亮点数是
45
.答案：【解析】：
本题主要考查新定义问题，需要根据题目中给出的“亮点数”的定义，结合给定的条件，列出方程求解。
首先，设这个两位数的十位数字为$x$，根据题目条件“一个亮点数的个位数字比十位数字大1”，则个位数字为$x + 1$。
然后，根据“亮点数”的定义，即一个两位数恰好等于它的各数位上数字之和的5倍，可以列出方程：
$10x + (x + 1) = 5(x + x + 1)$
接着，我们解这个方程：
去括号得：
$10x + x + 1 = 5(2x + 1)$
$10x + x + 1 = 10x + 5$
移项并合并同类项得：
$x = 4$
最后，将$x = 4$代入$x + 1$，得到个位数字为5。
所以，这个亮点数是45。
【答案】：
45
本题主要考查新定义问题，需要根据题目中给出的“亮点数”的定义，结合给定的条件，列出方程求解。
首先，设这个两位数的十位数字为$x$，根据题目条件“一个亮点数的个位数字比十位数字大1”，则个位数字为$x + 1$。
然后，根据“亮点数”的定义，即一个两位数恰好等于它的各数位上数字之和的5倍，可以列出方程：
$10x + (x + 1) = 5(x + x + 1)$
接着，我们解这个方程：
去括号得：
$10x + x + 1 = 5(2x + 1)$
$10x + x + 1 = 10x + 5$
移项并合并同类项得：
$x = 4$
最后，将$x = 4$代入$x + 1$，得到个位数字为5。
所以，这个亮点数是45。
【答案】：
45
3. 若一个长方形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,则称它为“优美长方形”.如图,若“优美长方形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为
13/3
.答案：解：设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y。
由图可知：正方形c的边长为x+y，正方形d的边长为y+(x+y)=x+2y。
长方形ABCD的长为(x+y)+(x+2y)=2x+3y，宽为(x+2y)+y=x+3y。
∵长方形ABCD的周长为26，
∴2[(2x+3y)+(x+3y)]=26，
整理得3x+6y=13，即x+2y=13/3。
∵正方形d的边长为x+2y，
∴正方形d的边长为13/3。
13/3
由图可知：正方形c的边长为x+y，正方形d的边长为y+(x+y)=x+2y。
长方形ABCD的长为(x+y)+(x+2y)=2x+3y，宽为(x+2y)+y=x+3y。
∵长方形ABCD的周长为26，
∴2[(2x+3y)+(x+3y)]=26，
整理得3x+6y=13，即x+2y=13/3。
∵正方形d的边长为x+2y，
∴正方形d的边长为13/3。
13/3
4. (2025·江苏常州期末)如图表示$3×3$的数表,数表每个位置所对应的数都是1,2或3.定义$a*b$为数表中第a行第b列的数,例如:数表第3行第1列所对应的数是2,所以$3*1= 2$.若$2*3= (2x+1)*2$,则x的值为____.
第1列 第2列 第3列
第1行 2 3 2
第2行 3 1 3
第3行 2 3 2
第1列 第2列 第3列
第1行 2 3 2
第2行 3 1 3
第3行 2 3 2
0或1
答案：解：由数表可知，2*3=3。
因为2*3=(2x+1)*2，所以(2x+1)*2=3。
观察数表，第b=2列中，数为3的行a满足：第1行第2列是3，第3行第2列是3，即a=1或a=3时，a*2=3。
所以2x+1=1或2x+1=3。
当2x+1=1时，2x=0，解得x=0；
当2x+1=3时，2x=2，解得x=1。
综上，x的值为0或1。
因为2*3=(2x+1)*2，所以(2x+1)*2=3。
观察数表，第b=2列中，数为3的行a满足：第1行第2列是3，第3行第2列是3，即a=1或a=3时，a*2=3。
所以2x+1=1或2x+1=3。
当2x+1=1时，2x=0，解得x=0；
当2x+1=3时，2x=2，解得x=1。
综上，x的值为0或1。
5. 定义:对于整数n,在计算$n+(n+1)+(n+2)$时,若结果能被15整除,则称n是15的“亲和数”.如:4是15的“亲和数”,因为$4+5+6= 15$,15能被15整除;—7不是15的“亲和数”,因为$(-7)+(-6)+(-5)= -18,-18$不能被15整除.
(1) -16____
(2) 求出1到2025这2025个整数中,15的“亲和数”的个数；
(3) 当k在-10到10之间(包括-10和10)时,直接写出使$2k+3$是15的“亲和数”的k的所有值.
(1) -16____
不是
15的“亲和数”；(填“是”或“不是”)(2) 求出1到2025这2025个整数中,15的“亲和数”的个数；
解：由题意，$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$，结果能被15整除，即$3(n+1)=15k$（$k$为整数），化简得$n+1=5k$，$n=5k-1$。
在1到2025中，$5k-1 \geq 1$，$k \geq \frac{2}{5}$；$5k-1 \leq 2025$，$k \leq \frac{2026}{5}=405.2$。
$k$为整数，$k=1,2,\cdots,405$，共405个。
在1到2025中，$5k-1 \geq 1$，$k \geq \frac{2}{5}$；$5k-1 \leq 2025$，$k \leq \frac{2026}{5}=405.2$。
$k$为整数，$k=1,2,\cdots,405$，共405个。
(3) 当k在-10到10之间(包括-10和10)时,直接写出使$2k+3$是15的“亲和数”的k的所有值.
-5,-2,1,4,7,10
答案：(1) 不是
(2) 解：由题意，$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$，结果能被15整除，即$3(n+1)=15k$（$k$为整数），化简得$n+1=5k$，$n=5k-1$。
在1到2025中，$5k-1 \geq 1$，$k \geq \frac{2}{5}$；$5k-1 \leq 2025$，$k \leq \frac{2026}{5}=405.2$。
$k$为整数，$k=1,2,\cdots,405$，共405个。
(3) $k=-5,-2,1,4,7,10$
(2) 解：由题意，$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$，结果能被15整除，即$3(n+1)=15k$（$k$为整数），化简得$n+1=5k$，$n=5k-1$。
在1到2025中，$5k-1 \geq 1$，$k \geq \frac{2}{5}$；$5k-1 \leq 2025$，$k \leq \frac{2026}{5}=405.2$。
$k$为整数，$k=1,2,\cdots,405$，共405个。
(3) $k=-5,-2,1,4,7,10$