1. (2025·江苏无锡期末)如图是一个圆,一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃.若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若它停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点.若这只电子跳蚤从1这点开始跳,则经过2025次跳跃后它所停的点对应的数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：解：由图可知五个点按顺时针依次为1,2,3,4,5.
第0次：1（奇数）
第1次：1+2=3（顺时针跳2个点）
第2次：3+2=5（顺时针跳2个点）
第3次：5+2=7→7-5=2（顺时针跳2个点，超过5则减5）
第4次：2-1=1（逆时针跳1个点）
跳跃规律为：1→3→5→2→1→3→5→2→…，周期为4.
2025÷4=506……1，余数为1.
对应周期中第1次跳跃后的点：3.
答案：C
第0次：1（奇数）
第1次：1+2=3（顺时针跳2个点）
第2次：3+2=5（顺时针跳2个点）
第3次：5+2=7→7-5=2（顺时针跳2个点，超过5则减5）
第4次：2-1=1（逆时针跳1个点）
跳跃规律为：1→3→5→2→1→3→5→2→…，周期为4.
2025÷4=506……1，余数为1.
对应周期中第1次跳跃后的点：3.
答案：C
2. 现有四条具有公共端点O的射线OA,OB,OC,OD.若点$P_{1},P_{2},P_{3},... $按如图所示的规律排列,则点$P_{2025}$落在 (
A.射线OA上
B.射线OB上
C.射线OC上
D.射线OD上
A
)A.射线OA上
B.射线OB上
C.射线OC上
D.射线OD上
答案：【解析】：
首先观察点$P_1, P_2, P_3, \ldots$的排列规律。
从图中可以看出，这些点按照一个特定的规律在四条射线上排列。
具体来说，每4个点构成一个循环组依次排列在$OD$、$OC$、$OB$、$OA$上，
因为$2025 ÷ 4 = 506\dots\dots1$，
余数为1，说明$P_{2025}$落在循环组的第一个位置，即射线$OD$后的第一条射线$OA$上。
【答案】：A.射线$OA$上。
首先观察点$P_1, P_2, P_3, \ldots$的排列规律。
从图中可以看出，这些点按照一个特定的规律在四条射线上排列。
具体来说，每4个点构成一个循环组依次排列在$OD$、$OC$、$OB$、$OA$上，
因为$2025 ÷ 4 = 506\dots\dots1$，
余数为1，说明$P_{2025}$落在循环组的第一个位置，即射线$OD$后的第一条射线$OA$上。
【答案】：A.射线$OA$上。
3. 按如下的方法构造一个多位数:先任意写一个整数$n(0\lt n\lt10)$作为第1位上的数字.将这个整数n乘3,若积是一位数,则将其作为第2位上的数字;若积是两位数,则将其个位上的数字作为第2位上的数字.再将第2位上的数字乘3,若积是一位数,则将其作为第3位上的数字;若积是两位数,则将其个位上的数字作为第3位上的数字;…;依此类推,若先任意写的一个整数n是7,且进行2024次如上操作后得到了第2025位上的数字,则第2025位上的数字是 (
A.1
B.3
C.7
D.9
C
)A.1
B.3
C.7
D.9
答案：解：以7为第1位数字开始操作：
第1位：7
第2位：7×3=21→1
第3位：1×3=3→3
第4位：3×3=9→9
第5位：9×3=27→7
第6位：7×3=21→1
...
可得数字序列：7，1，3，9，7，1，3，9，...，周期为4（7，1，3，9）。
2025位数字对应的周期位置：2025÷4=506...1，余数为1，对应周期第1个数字7。
答案：C
第1位：7
第2位：7×3=21→1
第3位：1×3=3→3
第4位：3×3=9→9
第5位：9×3=27→7
第6位：7×3=21→1
...
可得数字序列：7，1，3，9，7，1，3，9，...，周期为4（7，1，3，9）。
2025位数字对应的周期位置：2025÷4=506...1，余数为1，对应周期第1个数字7。
答案：C
4. 将正整数按如图所示的规律排列下去,若用有序数对$(n,m)$表示第n排第m个数,如$(4,2)$表示的数是8,则$(25,6)$表示的数是
306
.答案：解：由图可知，第1排有1个数，第2排有2个数，……，第n排有n个数。
前n排数的总个数为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
前24排数的总个数为$\frac{24×(24+1)}{2}=300$。
第25排第1个数是$300+1=301$，则第25排第6个数是$301+(6-1)=306$。
故$(25,6)$表示的数是306。
前n排数的总个数为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
前24排数的总个数为$\frac{24×(24+1)}{2}=300$。
第25排第1个数是$300+1=301$，则第25排第6个数是$301+(6-1)=306$。
故$(25,6)$表示的数是306。
5. 如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2025个格子中的数为
2
.答案：解：由题意得：3 + a + b = a + b + c，解得c = 3；
a + b + c = b + c + (-5)，即a + b + 3 = b + 3 - 5，解得a = -5；
b + c + (-5) = c + (-5) + d（设第五个数后为d），即b + 3 - 5 = 3 - 5 + d，解得b = d；
继续推导可得数列周期为3：3，-5，b，3，-5，b，…
又因第八个数为2，即周期中第三个数b = 2，
数列周期为3：3，-5，2，3，-5，2，…
2025 ÷ 3 = 675，余数为0，
第2025个格子中的数为2。
2
a + b + c = b + c + (-5)，即a + b + 3 = b + 3 - 5，解得a = -5；
b + c + (-5) = c + (-5) + d（设第五个数后为d），即b + 3 - 5 = 3 - 5 + d，解得b = d；
继续推导可得数列周期为3：3，-5，b，3，-5，b，…
又因第八个数为2，即周期中第三个数b = 2，
数列周期为3：3，-5，2，3，-5，2，…
2025 ÷ 3 = 675，余数为0，
第2025个格子中的数为2。
2
6. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:
图中黑色圆点的个数依次为1,3,6,10,…,将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据,则新数据中的第33个数为____
图中黑色圆点的个数依次为1,3,6,10,…,将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据,则新数据中的第33个数为____
1275
.答案：解：观察图形，第n个图形中黑色圆点的个数为 $ a_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} $。
依次计算 $ a_n $ 的值并判断能否被3整除：
$ n = 1 $ 时，$ a_1 = 1 $，不能被3整除；
$ n = 2 $ 时，$ a_2 = 3 $，能被3整除；
$ n = 3 $ 时，$ a_3 = 6 $，能被3整除；
$ n = 4 $ 时，$ a_4 = 10 $，不能被3整除；
$ n = 5 $ 时，$ a_5 = 15 $，能被3整除；
$ n = 6 $ 时，$ a_6 = 21 $，能被3整除；
$ n = 7 $ 时，$ a_7 = 28 $，不能被3整除；
$ n = 8 $ 时，$ a_8 = 36 $，能被3整除；
$ n = 9 $ 时，$ a_9 = 45 $，能被3整除；
规律：从 $ n = 2 $ 开始，每3个 $ n $ 值中有2个对应的 $ a_n $ 能被3整除（即 $ n = 3k - 1 $ 和 $ n = 3k $，$ k \geq 1 $）。
新数据第33个数对应 $ k = 17 $（前16组有32个数，第33个数为第17组第1个数），此时 $ n = 3 × 17 - 1 = 50 $。
计算 $ a_{50} = \frac{50 × 51}{2} = 1275 $。
答案：1275
依次计算 $ a_n $ 的值并判断能否被3整除：
$ n = 1 $ 时，$ a_1 = 1 $，不能被3整除；
$ n = 2 $ 时，$ a_2 = 3 $，能被3整除；
$ n = 3 $ 时，$ a_3 = 6 $，能被3整除；
$ n = 4 $ 时，$ a_4 = 10 $，不能被3整除；
$ n = 5 $ 时，$ a_5 = 15 $，能被3整除；
$ n = 6 $ 时，$ a_6 = 21 $，能被3整除；
$ n = 7 $ 时，$ a_7 = 28 $，不能被3整除；
$ n = 8 $ 时，$ a_8 = 36 $，能被3整除；
$ n = 9 $ 时，$ a_9 = 45 $，能被3整除；
规律：从 $ n = 2 $ 开始，每3个 $ n $ 值中有2个对应的 $ a_n $ 能被3整除（即 $ n = 3k - 1 $ 和 $ n = 3k $，$ k \geq 1 $）。
新数据第33个数对应 $ k = 17 $（前16组有32个数，第33个数为第17组第1个数），此时 $ n = 3 × 17 - 1 = 50 $。
计算 $ a_{50} = \frac{50 × 51}{2} = 1275 $。
答案：1275
7. 亮点原创·王老师在教学过程中善于把数学知识与实际生活联系在一起.在课堂上,他把全班同学分成A,B,C,D,E五组,每组的人数分别是10,9,8,7,6.游戏规则如下:当他数完1后,人数最少的那一组学生不动,其他各组各出一个人去人数最少的那组;当他数完2后,此时人数最少的那一组学生不动,其他各组各出一个人去人数最少的那组;…;如此进行下去,那么当王老师数完2025后,C组中的人数是
8
.答案：【解析】：
这个问题是一个典型的规律探究问题，涉及到周期性的变化。
首先，需要理解游戏规则，即每次数数后，人数最少的组不动，其他组各出一个人去人数最少的那组。
然后，通过模拟或推理，找出人数变化的规律。
由于只有五组，人数也有限，可以通过模拟前几轮的人数变化，找出周期性的规律。
初始状态下，A，B，C，D，E五组的人数分别为10，9，8，7，6。
第一次数数后，E组人数最少，所以A，B，C，D四组各出一个人去E组，变化后的人数为：
A组：$10-1=9$
B组：$9-1=8$
C组：$8-1=7$
D组：$7-1=6$
E组：$6+4=10$
第二次数数后，D组人数最少，所以A，B，C，E四组各出一个人去D组，变化后的人数为：
A组：$9-1=8$
B组：$8-1=7$
C组：$7-1=6$
D组：$6+4=10$
E组：$10-1=9$
第三次数数后，C组人数最少，所以A，B，D，E四组各出一个人去C组，变化后的人数为：
A组：$8-1=7$
B组：$7-1=6$
C组：$6+4=10$
D组：$10-1=9$
E组：$9-1=8$
第四次数数后，B组人数最少，所以A，C，D，E四组各出一个人去B组，变化后的人数为：
A组：$7-1=6$
B组：$6+4=10$
C组：$10-1=9$
D组：$9-1=8$
E组：$8-1=7$
第五次数数后，A组人数最少，所以B，C，D，E四组各出一个人去A组，变化后的人数恢复到初始状态：
A组：$6+4=10$
B组：$10-1=9$
C组：$9-1=8$
D组：$8-1=7$
E组：$7-1=6$
由此可见，每五次数数后，各组人数会恢复到初始状态，形成一个周期。
因此，可以通过计算$2025 ÷ 5 = 405$，得知数完2025后，各组人数与初始状态相同。
所以，当王老师数完2025后，C组中的人数是8。
【答案】：8
这个问题是一个典型的规律探究问题，涉及到周期性的变化。
首先，需要理解游戏规则，即每次数数后，人数最少的组不动，其他组各出一个人去人数最少的那组。
然后，通过模拟或推理，找出人数变化的规律。
由于只有五组，人数也有限，可以通过模拟前几轮的人数变化，找出周期性的规律。
初始状态下，A，B，C，D，E五组的人数分别为10，9，8，7，6。
第一次数数后，E组人数最少，所以A，B，C，D四组各出一个人去E组，变化后的人数为：
A组：$10-1=9$
B组：$9-1=8$
C组：$8-1=7$
D组：$7-1=6$
E组：$6+4=10$
第二次数数后，D组人数最少，所以A，B，C，E四组各出一个人去D组，变化后的人数为：
A组：$9-1=8$
B组：$8-1=7$
C组：$7-1=6$
D组：$6+4=10$
E组：$10-1=9$
第三次数数后，C组人数最少，所以A，B，D，E四组各出一个人去C组，变化后的人数为：
A组：$8-1=7$
B组：$7-1=6$
C组：$6+4=10$
D组：$10-1=9$
E组：$9-1=8$
第四次数数后，B组人数最少，所以A，C，D，E四组各出一个人去B组，变化后的人数为：
A组：$7-1=6$
B组：$6+4=10$
C组：$10-1=9$
D组：$9-1=8$
E组：$8-1=7$
第五次数数后，A组人数最少，所以B，C，D，E四组各出一个人去A组，变化后的人数恢复到初始状态：
A组：$6+4=10$
B组：$10-1=9$
C组：$9-1=8$
D组：$8-1=7$
E组：$7-1=6$
由此可见，每五次数数后，各组人数会恢复到初始状态，形成一个周期。
因此，可以通过计算$2025 ÷ 5 = 405$，得知数完2025后，各组人数与初始状态相同。
所以，当王老师数完2025后，C组中的人数是8。
【答案】：8