答案：【解析】：
题目考查了整式的加减运算以及代数式的恒等性质。
首先，将给定的代数式$P$和$Q$代入$3P-2Q$，然后去括号，合并同类项，得到一个关于$x$的整式。
由于题目给出无论$x$取何值，$3P-2Q= 9$恒成立，因此可以通过比较整式中$x$的系数和常数项，列出关于$a$的方程，从而求出$a$的值。
具体步骤如下：
1. 代入$P$和$Q$到$3P-2Q$中，得到：
$3P - 2Q = 3(3ax - 8x + 1) - 2(x - 2ax - 3)$
2. 去括号，得到：
$= 9ax - 24x + 3 - 2x + 4ax + 6$
3. 合并同类项，得到：
$= (9a + 4a)x + (-24 - 2)x + (3 + 6)$
$= (13a - 26)x + 9$
4. 由于$3P-2Q= 9$恒成立，因此$13a - 26 = 0$（因为$x$的系数必须为0，才能保证整式与$x$无关），同时常数项必须为9（已满足）。
5. 解方程$13a - 26 = 0$，得到$a = 2$。
【答案】：
$a = 2$。

答案：【解析】：
本题主要考查整式的加减运算，需要利用整式的加减法则来求解。
(1) 求B的表达式：
根据题意，小明在计算“$2A-B$”时错将“-”号看成“+”号，算得结果$C= 4a^{2}b-3ab^{2}+4abc$。
因此，可以根据$C = 2A + B$的关系来求解B。
首先，写出$2A$的表达式：
$2A = 2(3a^{2}b - 2ab^{2} + abc) = 6a^{2}b - 4ab^{2} + 2abc$
接着，利用$C = 2A + B$求解B：
$B = C - 2A$
$= (4a^{2}b - 3ab^{2} + 4abc) - (6a^{2}b - 4ab^{2} + 2abc)$
$= 4a^{2}b - 3ab^{2} + 4abc - 6a^{2}b + 4ab^{2} - 2abc$
$= -2a^{2}b + ab^{2} + 2abc$
(2) 求正确结果的表达式：
已知$A$和$B$的表达式，可以计算$2A-B$：
$2A - B = 2(3a^{2}b - 2ab^{2} + abc) - (-2a^{2}b + ab^{2} + 2abc)$
$= 6a^{2}b - 4ab^{2} + 2abc + 2a^{2}b - ab^{2} - 2abc$
$= 8a^{2}b - 5ab^{2}$
【答案】：
(1) $B = -2a^{2}b + ab^{2} + 2abc$
(2) $2A - B = 8a^{2}b - 5ab^{2}$

答案：【解析】：
本题主要考查整式的加减运算，需要根据题目中给出的条件，用$m$和$n$的代数式表示出各个班级的学生人数，然后进行计算。
(1) 根据题目条件，二班人数比一班人数的2倍少$n$，即二班人数为$2m - n$。三班人数比二班人数的一半多12，因此三班人数为$\frac{1}{2}(2m - n) + 12 = m - \frac{1}{2}n + 12$。
(2) 已知四个班共有学生$(6m - 3n)$人，一班有$m$人，二班有$(2m - n)$人，三班有$(m - \frac{1}{2}n + 12)$人。因此，四班人数为总人数减去一、二、三班人数，即$(6m - 3n) - m - (2m - n) - (m - \frac{1}{2}n + 12) = 2m - \frac{3}{2}n - 12$。
(3) 已知四个班共有学生120人，即$6m - 3n = 120$。解这个方程得到$2m - n = 40$。二班人数为$2m - n$，三班人数为$m - \frac{1}{2}n + 12$，因此二班比三班多的人数为$(2m - n) - (m - \frac{1}{2}n + 12) = m - \frac{1}{2}n - 12$。将$2m - n = 40$代入，得到二班比三班多的人数为$40 - \frac{1}{2}(2m - 40) - 12 = 40 - m + 20 - 12 = 8$（或者先求出$m - \frac{1}{2}n = 28$，再计算$28 - 12 = 16$的一半，因为$2m-n=40$可以拆成两个$m-\frac{1}{2}n$，得到二班比三班多的人数为$40-16× \frac{1}{2}× 2=8$），但由于我们之前已经求出具体表达式，直接代入$2m - n = 40$更直接，得$m - \frac{1}{2}n = 28 - 12 ×\frac{1}{2}× 2 = 8 × 2 × \frac{1}{2} = 8$（这里12需要除以2是因为在$m - \frac{1}{2}n + 12$中，只有$-\frac{1}{2}n$是需要减去的部分的一半，12是完整的加数，但在求差时只考虑一半的$n$的影响），即二班比三班多8人（此步骤为详细解释计算过程，实际答题时无需如此复杂，直接代入计算即可）。
【答案】：
(1) 三班的学生人数为$(m - \frac{1}{2}n + 12)$人。
(2) 四班的学生人数为$(2m - \frac{3}{2}n - 12)$人。
(3) 若这四个班共有学生120人，则二班比三班多8人。

答案：解：设初始数串之和为$S_0 = a + b + c$。
第1次操作后数串为：$a, b - a, b, c - b, c$，
和$S_1 = a + (b - a) + b + (c - b) + c = a + c + b = S_0 + (c - a)$。
第2次操作后数串为：$a, b - 2a, b - a, a, b, c - 2b, c - b, b, c$，
和$S_2 = a + (b - 2a) + (b - a) + a + b + (c - 2b) + (c - b) + b + c = a + 2c - a = S_1 + (c - a)$。
观察知每次操作后和增加$(c - a)$，则第$n$次操作后和$S_n = S_0 + n(c - a)$。
第10次操作后和$S_{10} = (a + b + c) + 10(c - a) = -9a + b + 11c$。
答案：D

答案：解：设BC的长为x。
左上角阴影部分的长为a，宽为x - 2b，面积为a(x - 2b) = ax - 2ab。
右下角阴影部分的长为2b，宽为x - a，面积为2b(x - a) = 2bx - 2ab。
S = (ax - 2ab) - (2bx - 2ab) = (a - 2b)x。
因为S始终保持不变，所以a - 2b = 0，即a = 2b。
a = 2b

答案：解：设图②③④的用绳长度分别为$L_2$、$L_3$、$L_4$。
由图可得：
$L_2 = 2a + 4b + 6c$
$L_3 = 4a + 2b + 6c$
$L_4 = 4a + 4b + 4c$
$L_3 - L_2 = (4a + 2b + 6c) - (2a + 4b + 6c) = 2a - 2b$，因为$b ＞ a$，所以$2a - 2b ＜ 0$，即$L_3 ＜ L_2$。
$L_4 - L_3 = (4a + 4b + 4c) - (4a + 2b + 6c) = 2b - 2c$，因为$b ＞ c$，所以$2b - 2c ＞ 0$，即$L_4 ＞ L_3$。
$L_2 - L_4 = (2a + 4b + 6c) - (4a + 4b + 4c) = 2c - 2a$，因为$a ＞ c$，所以$2c - 2a ＜ 0$，即$L_2 ＜ L_4$。
综上：$L_3 ＜ L_2 ＜ L_4$。
答：图③方法用绳最短，图④方法用绳最长。