1. 在多项式 $ x - y - z - m - n $ 中任意加括号,加括号后仍只有减法运算,然后按给出的运算顺序重新运算,称此为“加算操作”,例如：$ (x - y) - (z - m - n) = x - y - z + m + n $,$ x - y - (z - m) - n = x - y - z + m - n $,…$$。给出下列说法：① 至少存在一种“加算操作”,使其运算结果与原多项式相等；② 不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为 $ 0 $；③ 所有可能的“加算操作”共有 $ 8 $ 种不同运算结果。其中正确的个数是(
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
C
)A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
答案：解：①原多项式为$x - y - z - m - n$，不加括号时运算结果与之相等，存在这种“加算操作”，故①正确。
②假设存在“加算操作”使结果为$-x + y + z + m + n$，原多项式各项系数为1,-1,-1,-1,-1，新结果系数为-1,1,1,1,1，因加括号不改变$x$系数，故不存在，②正确。
③每个“-”号后字母（$y,z,m,n$）前符号可独立为“-”或“+”，共$2^4 = 16$种，经分析不同结果超过8种，③错误。
正确的个数是2个。
答案：C
②假设存在“加算操作”使结果为$-x + y + z + m + n$，原多项式各项系数为1,-1,-1,-1,-1，新结果系数为-1,1,1,1,1，因加括号不改变$x$系数，故不存在，②正确。
③每个“-”号后字母（$y,z,m,n$）前符号可独立为“-”或“+”，共$2^4 = 16$种，经分析不同结果超过8种，③错误。
正确的个数是2个。
答案：C
2. (2025·江苏苏州期末)某人步行 $ 5h $,先沿平路走,然后上山,再沿来的路线返回。若在平路上每小时走 $ 4km $,上山每小时走 $ 3km $,下山每小时走 $ 6km $,则在这 $ 5h $ 里一共走的路程是 $______$ $ km $。
20
答案：解：设平路路程为 $ x $ km，上山路程为 $ y $ km。
去程时间：$\frac{x}{4} + \frac{y}{3}$；返程时间：$\frac{x}{4} + \frac{y}{6}$。
总时间为5h，可得方程：$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 5$。
化简方程：$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 5$，即 $ x + y = 10 $。
总路程为 $ 2(x + y) = 2×10 = 20 $ km。
20
去程时间：$\frac{x}{4} + \frac{y}{3}$；返程时间：$\frac{x}{4} + \frac{y}{6}$。
总时间为5h，可得方程：$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 5$。
化简方程：$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 5$，即 $ x + y = 10 $。
总路程为 $ 2(x + y) = 2×10 = 20 $ km。
20
3. 已知代数式 $ (2x^{2} + 3ax - y) - 2(bx^{2} - \frac{b}{2}x + 2y - 1) $ 的值与字母 $ x $ 的取值无关,求代数式 $ (2a - b) - (a + b) $ 的值。
答案：【解析】：
首先对给定的代数式进行化简：
$(2x^{2} + 3ax - y) - 2(bx^{2} - \frac{b}{2}x + 2y - 1)$
$= 2x^{2} + 3ax - y - 2bx^{2} + bx - 4y + 2$
$= (2 - 2b)x^{2} + (3a + b)x - 5y + 2$
由于代数式的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数必须都为0，即：
$2 - 2b = 0$
$3a + b = 0$
从第一个方程，我们得到：
$b = 1$
将$b = 1$代入第二个方程，得到：
$3a + 1 = 0$
$a = -\frac{1}{3}$
接下来，代入$a$和$b$的值到代数式$(2a - b) - (a + b)$中：
$(2a - b) - (a + b) = a - 2b$
$= -\frac{1}{3} - 2(1)$
$= -\frac{1}{3} - 2$
$= -\frac{7}{3}$
【答案】：
$-\frac{7}{3}$
首先对给定的代数式进行化简：
$(2x^{2} + 3ax - y) - 2(bx^{2} - \frac{b}{2}x + 2y - 1)$
$= 2x^{2} + 3ax - y - 2bx^{2} + bx - 4y + 2$
$= (2 - 2b)x^{2} + (3a + b)x - 5y + 2$
由于代数式的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数必须都为0，即：
$2 - 2b = 0$
$3a + b = 0$
从第一个方程，我们得到：
$b = 1$
将$b = 1$代入第二个方程，得到：
$3a + 1 = 0$
$a = -\frac{1}{3}$
接下来，代入$a$和$b$的值到代数式$(2a - b) - (a + b)$中：
$(2a - b) - (a + b) = a - 2b$
$= -\frac{1}{3} - 2(1)$
$= -\frac{1}{3} - 2$
$= -\frac{7}{3}$
【答案】：
$-\frac{7}{3}$
4. 已知多项式 $ x^{3} + ax^{2} + bx + c $,其中 $ a $,$ b $,$ c $ 为常数。当 $ x = 1 $ 时,多项式的值是 $ 1 $；当 $ x = 2 $ 时,多项式的值是 $ 2 $。当 $ x $ 分别是 $ 8 $ 和 $ - 5 $ 时,多项式的值分别是 $ M $ 和 $ N $,求 $ M - N $ 的值。
答案：解：由题意得：
当$x = 1$时，$1 + a + b + c = 1$，即$a + b + c = 0$；
当$x = 2$时，$8 + 4a + 2b + c = 2$，即$4a + 2b + c = -6$。
用$4a + 2b + c = -6$减去$a + b + c = 0$，得$3a + b = -6$。
设$y = x^3 + ax^2 + bx + c$，则$M = 8^3 + a×8^2 + b×8 + c = 512 + 64a + 8b + c$，$N = (-5)^3 + a×(-5)^2 + b×(-5) + c = -125 + 25a - 5b + c$。
$M - N = (512 + 64a + 8b + c) - (-125 + 25a - 5b + c) = 637 + 39a + 13b = 637 + 13(3a + b)$。
因为$3a + b = -6$，所以$M - N = 637 + 13×(-6) = 637 - 78 = 559$。
答案：$559$
当$x = 1$时，$1 + a + b + c = 1$，即$a + b + c = 0$；
当$x = 2$时，$8 + 4a + 2b + c = 2$，即$4a + 2b + c = -6$。
用$4a + 2b + c = -6$减去$a + b + c = 0$，得$3a + b = -6$。
设$y = x^3 + ax^2 + bx + c$，则$M = 8^3 + a×8^2 + b×8 + c = 512 + 64a + 8b + c$，$N = (-5)^3 + a×(-5)^2 + b×(-5) + c = -125 + 25a - 5b + c$。
$M - N = (512 + 64a + 8b + c) - (-125 + 25a - 5b + c) = 637 + 39a + 13b = 637 + 13(3a + b)$。
因为$3a + b = -6$，所以$M - N = 637 + 13×(-6) = 637 - 78 = 559$。
答案：$559$
5. 已知 $ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = (x - 2)^{4} $,求下列代数式的值：
(1)$ a + b + c + d + e $；
(2)$ a + c $。
(1)$ a + b + c + d + e $；
(2)$ a + c $。
答案：【解析】：
本题主要考查了代数式的代入法求解以及多项式展开后的系数匹配。
首先，我们将$(x - 2)^{4}$展开，得到$(x - 2)^{4} = x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 32x + 16$。
然后，我们将这个多项式与$ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$进行比较，通过系数匹配，我们可以得到$a = 1, b = -8, c = 24, d = -32, e = 16$。
接下来，我们利用这些系数来求解代数式。
(1) 对于$a + b + c + d + e$，我们可以直接将得到的系数代入，得到$a + b + c + d + e = 1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1$。
另外，我们也可以通过代入$x = 1$来求解，因为当$x = 1$时，$ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$就变成了$a + b + c + d + e$。所以，我们令$x = 1$，则$(x - 2)^{4} = (1 - 2)^{4} = 1$，所以$a + b + c + d + e = 1$。
(2) 对于$a + c$，我们直接将得到的$a$和$c$的值代入，得到$a + c = 1 + 24 = 25$。
【答案】：
(1) $a + b + c + d + e = 1$；
(2) $a + c = 25$。
本题主要考查了代数式的代入法求解以及多项式展开后的系数匹配。
首先，我们将$(x - 2)^{4}$展开，得到$(x - 2)^{4} = x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 32x + 16$。
然后，我们将这个多项式与$ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$进行比较，通过系数匹配，我们可以得到$a = 1, b = -8, c = 24, d = -32, e = 16$。
接下来，我们利用这些系数来求解代数式。
(1) 对于$a + b + c + d + e$，我们可以直接将得到的系数代入，得到$a + b + c + d + e = 1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1$。
另外，我们也可以通过代入$x = 1$来求解，因为当$x = 1$时，$ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$就变成了$a + b + c + d + e$。所以，我们令$x = 1$，则$(x - 2)^{4} = (1 - 2)^{4} = 1$，所以$a + b + c + d + e = 1$。
(2) 对于$a + c$，我们直接将得到的$a$和$c$的值代入，得到$a + c = 1 + 24 = 25$。
【答案】：
(1) $a + b + c + d + e = 1$；
(2) $a + c = 25$。
6. 新趋势 情境素材 小明与同学做游戏,他把一张纸剪成 $ 9 $ 块,再从所得的纸片中任取一块再剪成 $ 9 $ 块；然后再从所得的纸片中任取一块,再剪成 $ 9 $ 块；…$$；这样类似地进行下去,能不能在第 $ n $ 次剪出的纸片恰好是 $ 2025 $ 块？若能,求 $ n $ 的值；若不能,请说明理由。
答案：【解析】：
首先，我们分析每次剪纸后纸片数量的变化规律。
初始时，有1张纸片。每次剪纸，我们选择一块纸片剪成9块，因此，每次剪纸后，纸片数量会增加8块（因为1块被剪成9块，所以增加了8块）。
设剪了$n$次后，纸片总数为$N$，则可以得到以下等式：
$N = 1 + 8n$
这是因为每次剪纸都会增加8块纸片，初始时有1块。
接下来，我们将$N = 2025$代入上述等式，以求解$n$的值：
$2025 = 1 + 8n$
移项得：
$8n = 2024$
除以8得：
$n = 253$
所以，如果能在第$n$次剪出的纸片恰好是2025块，那么$n$必须是253。
【答案】：
能，$n = 253$。
首先，我们分析每次剪纸后纸片数量的变化规律。
初始时，有1张纸片。每次剪纸，我们选择一块纸片剪成9块，因此，每次剪纸后，纸片数量会增加8块（因为1块被剪成9块，所以增加了8块）。
设剪了$n$次后，纸片总数为$N$，则可以得到以下等式：
$N = 1 + 8n$
这是因为每次剪纸都会增加8块纸片，初始时有1块。
接下来，我们将$N = 2025$代入上述等式，以求解$n$的值：
$2025 = 1 + 8n$
移项得：
$8n = 2024$
除以8得：
$n = 253$
所以，如果能在第$n$次剪出的纸片恰好是2025块，那么$n$必须是253。
【答案】：
能，$n = 253$。