9. 亮点原创·若一个三位数各数位上的数字均不为0,且百位上的数字与个位上的数字的和是十位上数字的2倍,则称这个三位数为“半中数”. 对于一个“半中数”$P$,将它的个位与百位上的数字对调,得到一个新的数$P'$,记$N= \frac{P + P'}{37}$. 若某个“半中数”的百位上的数字为$a$,十位上的数字为$b$,$a ＞ b$,且$N - 2a = 16$,则该“半中数”为(
A.432
B.654
C.753
D.741
C
)A.432
B.654
C.753
D.741
答案：C
解析：
设这个“半中数”的个位数字为$c$。
因为是“半中数”，所以$a + c = 2b$，$c = 2b - a$。
$P = 100a + 10b + c$，$P' = 100c + 10b + a$。
$N = \frac{P + P'}{37} = \frac{(100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)}{37} = \frac{101a + 20b + 101c}{37} = \frac{101(a + c) + 20b}{37}$。
将$a + c = 2b$代入，得$N = \frac{101×2b + 20b}{37} = \frac{202b + 20b}{37} = \frac{222b}{37} = 6b$。
已知$N - 2a = 16$，即$6b - 2a = 16$，化简得$3b - a = 8$，$a = 3b - 8$。
因为$a ＞ b$，$a$、$b$、$c$为不为$0$的一位数，$a$为百位数字，$1 \leq a \leq 9$，$1 \leq b \leq 9$，$1 \leq c \leq 9$。
$a = 3b - 8 ＞ b$，得$2b ＞ 8$，$b ＞ 4$。
$c = 2b - a = 2b - (3b - 8) = 8 - b$，$c \geq 1$，得$8 - b \geq 1$，$b \leq 7$。
所以$b$可取$5$、$6$、$7$。
当$b = 5$时，$a = 3×5 - 8 = 7$，$c = 8 - 5 = 3$，三位数为$753$。
当$b = 6$时，$a = 3×6 - 8 = 10$（不符合，$a$为一位数）。
当$b = 7$时，$a = 3×7 - 8 = 13$（不符合）。
综上，该“半中数”为$753$。
C
因为是“半中数”，所以$a + c = 2b$，$c = 2b - a$。
$P = 100a + 10b + c$，$P' = 100c + 10b + a$。
$N = \frac{P + P'}{37} = \frac{(100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)}{37} = \frac{101a + 20b + 101c}{37} = \frac{101(a + c) + 20b}{37}$。
将$a + c = 2b$代入，得$N = \frac{101×2b + 20b}{37} = \frac{202b + 20b}{37} = \frac{222b}{37} = 6b$。
已知$N - 2a = 16$，即$6b - 2a = 16$，化简得$3b - a = 8$，$a = 3b - 8$。
因为$a ＞ b$，$a$、$b$、$c$为不为$0$的一位数，$a$为百位数字，$1 \leq a \leq 9$，$1 \leq b \leq 9$，$1 \leq c \leq 9$。
$a = 3b - 8 ＞ b$，得$2b ＞ 8$，$b ＞ 4$。
$c = 2b - a = 2b - (3b - 8) = 8 - b$，$c \geq 1$，得$8 - b \geq 1$，$b \leq 7$。
所以$b$可取$5$、$6$、$7$。
当$b = 5$时，$a = 3×5 - 8 = 7$，$c = 8 - 5 = 3$，三位数为$753$。
当$b = 6$时，$a = 3×6 - 8 = 10$（不符合，$a$为一位数）。
当$b = 7$时，$a = 3×7 - 8 = 13$（不符合）。
综上，该“半中数”为$753$。
C
10. 观察等式：$2 + 2^{2}= 2^{3}-2$；$2 + 2^{2}+2^{3}= 2^{4}-2$；$2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}= 2^{5}-2$；…已知按一定规律排列的一组数：$2^{50}$,$2^{51}$,$2^{52}$,…,$2^{99}$,$2^{100}$. 若$2^{50}= a$,则用含$a$的代数式表示这组数的和是(提示：$a^{m + n}= a^{m}\cdot a^{n}$,其中$m$,$n$是正整数)(
A.$2a^{2}-2a$
B.$2a^{2}-2a - 2$
C.$2a^{2}-a$
D.$2a^{2}+a$
C
)A.$2a^{2}-2a$
B.$2a^{2}-2a - 2$
C.$2a^{2}-a$
D.$2a^{2}+a$
答案：C 解析:根据所给等式可推出一般性等式:$2+2^{2}+... +2^{n}=2^{n+1}-2$,所以$2^{50}+2^{51}+2^{52}+... +2^{99}+2^{100}=(2+2^{2}+... +2^{99}+2^{100})-(2+2^{2}+... +2^{48}+2^{49})=(2^{101}-2)-(2^{50}-2)=2^{101}-2^{50}=2×2^{50}×2^{50}-2^{50}=2a^{2}-a.$
11.(2024·四川绵阳)已知单项式$3a^{2}b与-2a^{2}b^{n - 1}$是同类项,则$n= $
2
.答案：2
解析：
因为单项式$3a^{2}b$与$-2a^{2}b^{n - 1}$是同类项，所以相同字母的指数相同，即$b$的指数相等，可得$1 = n - 1$，解得$n = 2$。
$2$
$2$
12. 计算$4a + 2a - a$的结果为
5a
.答案：5a
13.(2023·辽宁沈阳)当$a + b = 3$时,代数式$2(a + 2b)-(3a + 5b)+5$的值为
2
.答案：2
解析：
$\begin{aligned}&2(a + 2b)-(3a + 5b)+5\\=&2a + 4b - 3a - 5b + 5\\=&(2a - 3a) + (4b - 5b) + 5\\=&-a - b + 5\\=&-(a + b) + 5\end{aligned}$
因为$a + b = 3$，所以原式$=-3 + 5 = 2$
2
因为$a + b = 3$，所以原式$=-3 + 5 = 2$
2
14. 新素养 几何直观 如图,阴影部分的面积为
$mn-\frac {π}{4}m^{2}$
.答案：$mn-\frac {π}{4}m^{2}$
解析：
阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个半圆的面积之和。
长方形面积为 $ m × n = mn $。
两个半圆可组成一个直径为 $ m $ 的圆，其半径为 $ \frac{m}{2} $，面积为 $ \pi \left( \frac{m}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4}m^2 $。
故阴影部分面积为 $ mn - \frac{\pi}{4}m^2 $。
$ mn-\frac{\pi}{4}m^{2} $
长方形面积为 $ m × n = mn $。
两个半圆可组成一个直径为 $ m $ 的圆，其半径为 $ \frac{m}{2} $，面积为 $ \pi \left( \frac{m}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4}m^2 $。
故阴影部分面积为 $ mn - \frac{\pi}{4}m^2 $。
$ mn-\frac{\pi}{4}m^{2} $
15. 若有理数a,b,c满足a ＜ 0,b ＞ 0,c ＞ 0,且$\vert b\vert ＜\vert a\vert ＜\vert c\vert,$则化简$\vert 2a - b\vert+\vert b - c\vert-2\vert c - a\vert$的结果是
-c
.答案：-c
解析：
因为$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，所以$2a ＜ 0$，$-b ＜ 0$，则$2a - b ＜ 0$，$\vert 2a - b\vert=-(2a - b)=-2a + b$；
因为$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$\vert b\vert ＜ \vert c\vert$，所以$b ＜ c$，$b - c ＜ 0$，$\vert b - c\vert=-(b - c)=-b + c$；
因为$a ＜ 0$，$c ＞ 0$，所以$-a ＞ 0$，$c - a = c + (-a) ＞ 0$，$\vert c - a\vert=c - a$。
$\vert 2a - b\vert+\vert b - c\vert-2\vert c - a\vert$
$=(-2a + b)+(-b + c)-2(c - a)$
$=-2a + b - b + c - 2c + 2a$
$=(-2a + 2a)+(b - b)+(c - 2c)$
$=0 + 0 - c$
$=-c$
$-c$
因为$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$\vert b\vert ＜ \vert c\vert$，所以$b ＜ c$，$b - c ＜ 0$，$\vert b - c\vert=-(b - c)=-b + c$；
因为$a ＜ 0$，$c ＞ 0$，所以$-a ＞ 0$，$c - a = c + (-a) ＞ 0$，$\vert c - a\vert=c - a$。
$\vert 2a - b\vert+\vert b - c\vert-2\vert c - a\vert$
$=(-2a + b)+(-b + c)-2(c - a)$
$=-2a + b - b + c - 2c + 2a$
$=(-2a + 2a)+(b - b)+(c - 2c)$
$=0 + 0 - c$
$=-c$
$-c$
16.(2025·江苏泰州期末)观察下列各式：$a_{1}= \frac{2}{3}$,$a_{2}= \frac{3}{5}$,$a_{3}= \frac{10}{7}$,$a_{4}= \frac{15}{9}$,$a_{5}= \frac{26}{11}$,…,根据其中的规律可得$a_{n}= $
$\frac {n^{2}+(-1)^{n+1}}{2n+1}$
.(用含$n$的代数式表示)答案：$\frac {n^{2}+(-1)^{n+1}}{2n+1}$
17.(2023·重庆)如果一个四位自然数$\overline{abcd}$的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足$\overline{ab}-\overline{bc}= \overline{cd}$,那么称这个四位数为“递减数”. 例如：四位数4129. 因为$41 - 12 = 29$,所以4129是“递减数”. 又如：四位数5324. 因为$53 - 32 = 21\neq24$,所以5324不是“递减数”. 若一个“递减数”为$\overline{a312}$,则这个数为
4312
；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数$\overline{abc}与后三个数字组成的三位数\overline{bcd}$的和能被9整除,则满足条件的数的最大值是8165
.答案：4 312 8 165 解析:由题意,得$10a+3-31=12$,所以$a=4$,所以这个数为 4 312. 由题意,得$10a+b-(10b+c)=10c+d$.整理,得$10a-9b-11c=d$,所以一个"递减数"的前三个数字组成的三位数$\overline {abc}$与后三个数字组成的三位数$\overline {bcd}$的和为$100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99(a+b)+11a+2b$.因为一个"递减数"的前三个数字组成的三位数$\overline {abc}$与后三个数字组成的三位数
解析：
4312；8165
18. 亮点原创·如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,其规律如下：从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和. 图中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为$a_{1}$,第二个数记为$a_{2}$,第三个数记为$a_{3}$,…,第$n个数记为a_{n}$. 若$a_{n}＜2025$,则$n$的最大值为____
63
.答案：63 解析:$a_{1}=1=\frac {1×2}{2},a_{2}=3=\frac {2×3}{2},a_{3}=6=\frac {3×4}{2},a_{4}=10=\frac {4×5}{2},...$,依此规律,$a_{n}=\frac {n(n+1)}{2}$.因为$a_{63}=\frac {63×64}{2}=2016,a_{64}=\frac {64×65}{2}=2080$,且$a_{n}＜2025$,所以 n 的最大值为 63.
解析：
观察数列可得：$a_{1}=1=\frac{1×2}{2}$，$a_{2}=3=\frac{2×3}{2}$，$a_{3}=6=\frac{3×4}{2}$，$a_{4}=10=\frac{4×5}{2}$，...，依此规律，$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$。
当$n=63$时，$a_{63}=\frac{63×64}{2}=2016$；当$n=64$时，$a_{64}=\frac{64×65}{2}=2080$。
因为$a_{n}＜2025$，所以$n$的最大值为$63$。
63
当$n=63$时，$a_{63}=\frac{63×64}{2}=2016$；当$n=64$时，$a_{64}=\frac{64×65}{2}=2080$。
因为$a_{n}＜2025$，所以$n$的最大值为$63$。
63