1. 请你设计一个长方体包装盒, 刚好能装下 4 个摞在一起的玻璃杯。为了展示出玻璃杯的样子, 前面使用透明塑料膜, 其他各面都用纸板。做这个包装盒至少需要多少平方厘米纸板? (纸板厚度和粘接重叠部分忽略不计) (单位: 厘米)
答案：$6+(8 - 6)×3 = 12$(厘米) $(5×5 + 5×12)×2 + 5×12 = 230$(平方厘米)
2. 如图是一卷裹成正方体的钢卷 (每层之间无缝隙), 已知中间卷轴横截面的边长是 20 厘米, 钢卷每层的厚度是 4 毫米, 全部拉开, 这卷钢卷共长多少米?
答案：20厘米 = 2分米 4毫米 = 0.04分米
$(8×8 - 2×2)×8÷(8×0.04)=1500$(分米)
1500分米 = 150米
$(8×8 - 2×2)×8÷(8×0.04)=1500$(分米)
1500分米 = 150米
3. 如图, 有一个完全封闭的长方体容器, 从里面量, 长 40 厘米, 宽 25 厘米, 高 20 厘米。平放时里面所装水的高度是 10 厘米, 如果把这个容器竖起来放, 水面的高度是多少厘米?
答案：$40×25×10÷(25×20)=20$(厘米)
解析：
$40×25×10÷(25×20)=20$（厘米）
4. 把一块横截面为正方形的长方体木料, 分割成一个表面积是 96 平方厘米的正方体和一个表面积是 80 平方厘米的长方体, 那么原来长方体的表面积和体积分别是多少?
答案：$96÷6 = 16$(平方厘米) $16 = 4×4$,所以正方体的棱长为4厘米 $(80 - 4×4×2)÷4÷4 = 3$(厘米) 原来长方体的表面积为$4×4×2 + 4×(4 + 3)×4 = 144$(平方厘米) 原来长方体的体积为$4×4×(4 + 3)=112$(立方厘米)
解析：
$96÷6=16$（平方厘米）
$16=4×4$，正方体棱长为$4$厘米
$(80 - 4×4×2)÷4÷4=(80 - 32)÷16=48÷16=3$（厘米）
原来长方体表面积：$4×4×2 + 4×(4 + 3)×4=32 + 112=144$（平方厘米）
原来长方体体积：$4×4×(4 + 3)=16×7=112$（立方厘米）
答：原来长方体的表面积是$144$平方厘米，体积是$112$立方厘米。
$16=4×4$，正方体棱长为$4$厘米
$(80 - 4×4×2)÷4÷4=(80 - 32)÷16=48÷16=3$（厘米）
原来长方体表面积：$4×4×2 + 4×(4 + 3)×4=32 + 112=144$（平方厘米）
原来长方体体积：$4×4×(4 + 3)=16×7=112$（立方厘米）
答：原来长方体的表面积是$144$平方厘米，体积是$112$立方厘米。
5. 优化思想 笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒, 她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中 (纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压)。一小包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如图所示。(单位: 厘米)
(1) 甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾? (按同一个方向摆放)
(2) 尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾, 你可以放置多少包? 写出你的思考过程。(可以写一写, 画一画)
(1) 甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾? (按同一个方向摆放)
(2) 尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾, 你可以放置多少包? 写出你的思考过程。(可以写一写, 画一画)
答案：
(1)$6÷3 = 2$(包) $14÷7 = 2$(包) $15÷5 = 3$(包) $2×2×3 = 12$(包) 提示:根据纸巾和甲收纳盒的长、宽、高尺寸,一共有4种放置方法。①$6÷3 = 2$(包),$14÷7 = 2$(包),$15÷5 = 3$(包),能放置$2×2×3 = 12$(包);②$6÷3 = 2$(包),$14÷5 = 2$(包)……4(厘米),$15÷7 = 2$(包)……1(厘米),能放置$2×2×2 = 8$(包);③$6÷5 = 1$(包)……1(厘米),$14÷7 = 2$(包),$15÷3 = 5$(包),能放置$1×2×5 = 10$(包);④$6÷5 = 1$(包)……1(厘米),$14÷3 = 4$(包)……2(厘米),$15÷7 = 2$(包)……1(厘米),能放置$1×4×2 = 8$(包)。所以甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
(2)$15÷5 = 3$(包) $(17 - 7)÷5 = 2$(包)
$15÷7 = 2$(包)……1(厘米) $3 + 2×2 = 7$(包)
可以放置7包 提示:联系生活实际可知,一小包纸巾的形状是固定的,有可能收纳盒的容积够,但是纸巾装不下,所以不能直接用收纳盒的容积除以每包纸巾的体积,应该计算收纳盒的长能放几包,宽能放几包,最多能放几层,再用乘法计算乙收纳盒可以装纸巾的总数量,据此解答。
(1)$6÷3 = 2$(包) $14÷7 = 2$(包) $15÷5 = 3$(包) $2×2×3 = 12$(包) 提示:根据纸巾和甲收纳盒的长、宽、高尺寸,一共有4种放置方法。①$6÷3 = 2$(包),$14÷7 = 2$(包),$15÷5 = 3$(包),能放置$2×2×3 = 12$(包);②$6÷3 = 2$(包),$14÷5 = 2$(包)……4(厘米),$15÷7 = 2$(包)……1(厘米),能放置$2×2×2 = 8$(包);③$6÷5 = 1$(包)……1(厘米),$14÷7 = 2$(包),$15÷3 = 5$(包),能放置$1×2×5 = 10$(包);④$6÷5 = 1$(包)……1(厘米),$14÷3 = 4$(包)……2(厘米),$15÷7 = 2$(包)……1(厘米),能放置$1×4×2 = 8$(包)。所以甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
(2)$15÷5 = 3$(包) $(17 - 7)÷5 = 2$(包)
$15÷7 = 2$(包)……1(厘米) $3 + 2×2 = 7$(包)
可以放置7包 提示:联系生活实际可知,一小包纸巾的形状是固定的,有可能收纳盒的容积够,但是纸巾装不下,所以不能直接用收纳盒的容积除以每包纸巾的体积,应该计算收纳盒的长能放几包,宽能放几包,最多能放几层,再用乘法计算乙收纳盒可以装纸巾的总数量,据此解答。
强基直通车 地上有一堆小正方体, 从不同方向看到的图形如下, 这一堆小正方体一共有 ( ) 个, 如果每个小正方体的棱长为 1 厘米, 那么这堆小正方体所堆成的立体图形的表面积为 ( ) 平方厘米。
答案：
10 42 提示:
(1)从题图①很容易看出,有3个格子里是没有小正方体的,而其他6个格子里至少有1个小正方体,将所得信息填入图
(1)中。
(2)结合题图①和题图②,可知有两格只有1个小正方体,将所得信息填入图
(2)中。
(3)同样地,结合题图②和题图③,又可知有一格只有1个小正方体,将所得信息填入图
(3)中。
(4)题图③中最右边一列有2个小正方体,所以题图①左上角处有2个小正方体,将所得信息填入图
(4)中。
(5)同理,题图②最右边一列有2个小正方体,所以题图①最右边中间处有2个小正方体,将所得信息填入图
(5)中。
(6)结合题图②、题图③不难看出,题图①中最后剩下的那块有3个小正方体。综上,每格中的小正方体数如图
(6)。
所以这一堆小正方体一共有2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10(个)。立体图形如图所示。
上下各能看到6个面,前后各能看到6个面,左右各能看到6个面,同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面,所以表面积是$2×(6 + 6 + 6)+6 = 42$(平方厘米)。
10 42 提示:
(1)从题图①很容易看出,有3个格子里是没有小正方体的,而其他6个格子里至少有1个小正方体,将所得信息填入图
(1)中。
(2)结合题图①和题图②,可知有两格只有1个小正方体,将所得信息填入图
(2)中。
(3)同样地,结合题图②和题图③,又可知有一格只有1个小正方体,将所得信息填入图
(3)中。
(4)题图③中最右边一列有2个小正方体,所以题图①左上角处有2个小正方体,将所得信息填入图
(4)中。
(5)同理,题图②最右边一列有2个小正方体,所以题图①最右边中间处有2个小正方体,将所得信息填入图
(5)中。
(6)结合题图②、题图③不难看出,题图①中最后剩下的那块有3个小正方体。综上,每格中的小正方体数如图
(6)。
所以这一堆小正方体一共有2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10(个)。立体图形如图所示。
上下各能看到6个面,前后各能看到6个面,左右各能看到6个面,同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面,所以表面积是$2×(6 + 6 + 6)+6 = 42$(平方厘米)。