7. 一筐苹果连筐重48千克,吃掉$\frac{7}{11}$后,连筐还重20千克。空筐重多少千克？
答案：苹果重:$(48-20)÷\frac{7}{11}=44$(千克)
空筐重:$48-44=4$(千克)
提示:吃掉的$\frac{7}{11}$的苹果重$48-20=28$(千克),求出整筐苹果重$28÷\frac{7}{11}=44$(千克),最后求出筐重$48-44=4$(千克)。
空筐重:$48-44=4$(千克)
提示:吃掉的$\frac{7}{11}$的苹果重$48-20=28$(千克),求出整筐苹果重$28÷\frac{7}{11}=44$(千克),最后求出筐重$48-44=4$(千克)。
8. 根据给出的规律进行巧算。
(1)规律：$a÷ b的商等于b÷ a$的商的倒数(a、b不为0)。
$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})$
(2)规律：$a^{2}-b^{2}= (a - b)×(a + b)$。
$[1-(\frac{1}{2})^{2}]×[1-(\frac{1}{3})^{2}]×[1-(\frac{1}{4})^{2}]×…×[1-(\frac{1}{10})^{2}]$
(3)规律：$\frac{1}{n×(n + 1)×(n + 2)}= [\frac{1}{n×(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)×(n + 2)}]×\frac{1}{2}$(n是大于0的自然数)。
$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+…+\frac{1}{98×99×100}$
(1)规律：$a÷ b的商等于b÷ a$的商的倒数(a、b不为0)。
$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})$
(2)规律：$a^{2}-b^{2}= (a - b)×(a + b)$。
$[1-(\frac{1}{2})^{2}]×[1-(\frac{1}{3})^{2}]×[1-(\frac{1}{4})^{2}]×…×[1-(\frac{1}{10})^{2}]$
(3)规律：$\frac{1}{n×(n + 1)×(n + 2)}= [\frac{1}{n×(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)×(n + 2)}]×\frac{1}{2}$(n是大于0的自然数)。
$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+…+\frac{1}{98×99×100}$
答案：
(1)$(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})÷\frac{1}{60}$
$=(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})×60$
$=\frac{4}{5}×60-\frac{2}{3}×60+\frac{3}{20}×60$
$=48-40+9$
$=17$
所以$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})=\frac{1}{17}$。
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\cdots×(1-\frac{1}{10})×(1+\frac{1}{10})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}=\frac{11}{20}$
(3)$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99×100}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=\frac{4949}{19800}$
(1)$(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})÷\frac{1}{60}$
$=(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})×60$
$=\frac{4}{5}×60-\frac{2}{3}×60+\frac{3}{20}×60$
$=48-40+9$
$=17$
所以$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})=\frac{1}{17}$。
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\cdots×(1-\frac{1}{10})×(1+\frac{1}{10})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}=\frac{11}{20}$
(3)$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99×100}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=\frac{4949}{19800}$
9. (1)要使等式“$(16×☆-☆÷\frac{1}{7})×3= 51$”成立,则☆所代表的数是(
(2)明明在计算$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)$时,因为漏看了括号,这样算出的结果与正确的结果相差$\frac{3}{20}$,则☆所表示的数是(
$\frac{17}{9}$
)。(2)明明在计算$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)$时,因为漏看了括号,这样算出的结果与正确的结果相差$\frac{3}{20}$,则☆所表示的数是(
$\frac{1}{4}$
)。答案：
(1)$\frac{17}{9}$ 提示:设☆所代表的数是x。$(16x-x÷\frac{1}{7})×3=51$,解得$x=\frac{17}{9}$。
(2)$\frac{1}{4}$ 提示:根据乘法分配律可知,$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)=\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+\frac{2}{5}×☆$,而明明计算时漏看了括号,他计算的算式是$\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+☆$,通过比较可以发现,$☆-\frac{2}{5}×☆=\frac{3}{20}$,可得$☆=\frac{1}{4}$。
(1)$\frac{17}{9}$ 提示:设☆所代表的数是x。$(16x-x÷\frac{1}{7})×3=51$,解得$x=\frac{17}{9}$。
(2)$\frac{1}{4}$ 提示:根据乘法分配律可知,$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)=\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+\frac{2}{5}×☆$,而明明计算时漏看了括号,他计算的算式是$\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+☆$,通过比较可以发现,$☆-\frac{2}{5}×☆=\frac{3}{20}$,可得$☆=\frac{1}{4}$。
10. (1)A、B、C三个分数,它们的分子和分母都是自然数,并且分子的比是$3:2:1$,分母的比是$2:3:4$,三个分数的和是$\frac{29}{60}$,则$A - B - C= $
(2)三个连续偶数,最大的偶数是这三个数和的$\frac{2}{5}$,这三个偶数分别是
$\frac{7}{60}$
。(2)三个连续偶数,最大的偶数是这三个数和的$\frac{2}{5}$,这三个偶数分别是
8
、10
和12
。答案：
(1)$\frac{7}{60}$ 提示:三个分数分子的比是$3:2:1$,分母的比是$2:3:4$,则分数值的比是$(3÷2):(2÷3):(1÷4)=18:8:3$,再根据按比分配的方法可知,$A-B-C=\frac{29}{60}×(\frac{18}{18+8+3}-\frac{8}{18+8+3}-\frac{3}{18+8+3})=\frac{29}{60}×\frac{7}{29}=\frac{7}{60}$。
(2)8 10 12 提示:每相邻两个偶数相差$2$,三个连续偶数中,中间一个偶数是这三个数和的$\frac{1}{3}$,而最大的偶数是这三个数和的$\frac{2}{5}$,因此$2$是这三个数和的$\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$,可以知道三个连续偶数的和是$2÷\frac{1}{15}=30$。$30×\frac{2}{5}=12$,$30×\frac{1}{3}=10$,$30-12-10=8$,故这三个偶数分别是$8$､$10$､$12$。
(1)$\frac{7}{60}$ 提示:三个分数分子的比是$3:2:1$,分母的比是$2:3:4$,则分数值的比是$(3÷2):(2÷3):(1÷4)=18:8:3$,再根据按比分配的方法可知,$A-B-C=\frac{29}{60}×(\frac{18}{18+8+3}-\frac{8}{18+8+3}-\frac{3}{18+8+3})=\frac{29}{60}×\frac{7}{29}=\frac{7}{60}$。
(2)8 10 12 提示:每相邻两个偶数相差$2$,三个连续偶数中,中间一个偶数是这三个数和的$\frac{1}{3}$,而最大的偶数是这三个数和的$\frac{2}{5}$,因此$2$是这三个数和的$\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$,可以知道三个连续偶数的和是$2÷\frac{1}{15}=30$。$30×\frac{2}{5}=12$,$30×\frac{1}{3}=10$,$30-12-10=8$,故这三个偶数分别是$8$､$10$､$12$。
11. 粉刷一间教室,甲单独做需要24小时完成,乙单独做需要30小时完成。现在甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作2小时；甲工作2小时,乙工作1小时；甲工作1小时,乙工作2小时……如此交替下去,粉刷完这间教室需要用多少小时？
答案：每经过一个周期,两人完成的工作量$:(\frac{1}{24}+\frac{1}{30})×(1+2)=\frac{9}{40} $周期的个数$:1÷\frac{9}{40}=4\frac{4}{9}($个)经过4个周期后,两人完成的工作总量$:\frac{9}{40}×4=\frac{9}{10}$经过4个周期后,剩下的工作量$:1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$因为$\frac{1}{10}＞\frac{1}{24},\frac{1}{10}-\frac{1}{24}=\frac{7}{120},\frac{1}{30}×2=\frac{1}{15},\frac{1}{15}＞\frac{7}{120},$所以甲工作1小时后,剩下的工作量乙需要工作$\frac{7}{120}÷\frac{1}{30}=\frac{7}{4}($小时) 粉刷完这间教室需要用的时间$:6×4+1+\frac{7}{4}=26\frac{3}{4}($小时) 提示:在周期工程问题中,完成工作的事物是按一定顺序轮流工作的｡解题时,要先明确一个周期的工作量,然后利用周期性规律,求出对应的工作时间,同时要注意不满一个周期工作量所需的工作时间｡甲每小时完成粉刷任务$の\frac{1}{24},$乙每小时完成粉刷任务$の\frac{1}{30},$两人轮流工作,可以把6小时の工作时间看作一个周期,在每一个周期中,甲､乙都工作了3小时｡先求出一个周期の工作总量及粉刷完这间教室需要の周期个数,再求出剩下の工作量需要甲和乙各自工作の时间,从而求出粉刷完这间教室需要用の时间｡
解析：
甲每小时完成工作量：$\frac{1}{24}$，乙每小时完成工作量：$\frac{1}{30}$。
一个周期为6小时（甲1小时+乙2小时+甲2小时+乙1小时），周期内甲工作$1+2=3$小时，乙工作$2+1=3$小时。
一个周期完成工作量：$3×\frac{1}{24}+3×\frac{1}{30}=3×(\frac{5}{120}+\frac{4}{120})=3×\frac{9}{120}=\frac{9}{40}$。
周期个数：$1÷\frac{9}{40}=4\frac{4}{9}$（个），取整为4个周期。
4个周期完成工作量：$4×\frac{9}{40}=\frac{9}{10}$，剩余工作量：$1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$。
4个周期用时：$4×6=24$小时。
剩余工作量由甲先工作1小时：完成$\frac{1}{24}$，剩余工作量：$\frac{1}{10}-\frac{1}{24}=\frac{12}{120}-\frac{5}{120}=\frac{7}{120}$。
剩余工作量由乙完成需时：$\frac{7}{120}÷\frac{1}{30}=\frac{7}{120}×30=\frac{7}{4}$小时。
总用时：$24+1+\frac{7}{4}=25+\frac{7}{4}=\frac{100}{4}+\frac{7}{4}=\frac{107}{4}=26\frac{3}{4}$小时。
答：粉刷完这间教室需要用$26\frac{3}{4}$小时。
一个周期为6小时（甲1小时+乙2小时+甲2小时+乙1小时），周期内甲工作$1+2=3$小时，乙工作$2+1=3$小时。
一个周期完成工作量：$3×\frac{1}{24}+3×\frac{1}{30}=3×(\frac{5}{120}+\frac{4}{120})=3×\frac{9}{120}=\frac{9}{40}$。
周期个数：$1÷\frac{9}{40}=4\frac{4}{9}$（个），取整为4个周期。
4个周期完成工作量：$4×\frac{9}{40}=\frac{9}{10}$，剩余工作量：$1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$。
4个周期用时：$4×6=24$小时。
剩余工作量由甲先工作1小时：完成$\frac{1}{24}$，剩余工作量：$\frac{1}{10}-\frac{1}{24}=\frac{12}{120}-\frac{5}{120}=\frac{7}{120}$。
剩余工作量由乙完成需时：$\frac{7}{120}÷\frac{1}{30}=\frac{7}{120}×30=\frac{7}{4}$小时。
总用时：$24+1+\frac{7}{4}=25+\frac{7}{4}=\frac{100}{4}+\frac{7}{4}=\frac{107}{4}=26\frac{3}{4}$小时。
答：粉刷完这间教室需要用$26\frac{3}{4}$小时。
12. 计算：$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$。
答案：设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=a$,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=b$,则$a-b=1$。
原式$=a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=\frac{1}{5}(a-b)=\frac{1}{5}$。
提示:不妨将$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$用$a$表示,$将\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}用b$表示。原式就可以转换成$a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=ab+\frac{1}{5}a-ab-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}a-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}(a-b)$,因为$a-b=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=1$,所以原式$=\frac{1}{5}$。
原式$=a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=\frac{1}{5}(a-b)=\frac{1}{5}$。
提示:不妨将$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$用$a$表示,$将\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}用b$表示。原式就可以转换成$a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=ab+\frac{1}{5}a-ab-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}a-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}(a-b)$,因为$a-b=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=1$,所以原式$=\frac{1}{5}$。