1. 如图,在数轴上点A表示的数是3,点B位于点A的左侧,与点A的距离是8个单位长度.
(1) 求点B表示的数,并在数轴上将点B表示出来.
(2) 若点M到点A的距离是到点B距离的2倍,求点M表示的数.
(3) 动点P从点B出发,沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动,同时,点Q从点A出发,沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当其中一点先到达终点时,另一点继续运动. 求当点P与点Q到原点的距离相等时,点Q在数轴上表示的数.
(1) 求点B表示的数,并在数轴上将点B表示出来.
(2) 若点M到点A的距离是到点B距离的2倍,求点M表示的数.
(3) 动点P从点B出发,沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动,同时,点Q从点A出发,沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当其中一点先到达终点时,另一点继续运动. 求当点P与点Q到原点的距离相等时,点Q在数轴上表示的数.
答案：
(1) 因为点 $ A $ 表示的数是 $ 3 $，点 $ B $ 位于点 $ A $ 的左侧，与点 $ A $ 的距离是 $ 8 $ 个单位长度，所以点 $ B $ 表示的数是 $ 3 - 8 = - 5 $ 如图所示
(2) 设点 $ M $ 表示的数为 $ x $。因为点 $ M $ 到点 $ A $ 的距离是到点 $ B $ 距离的 $ 2 $ 倍，所以 $ | x - 3 | = 2 | x - ( - 5 ) | $。所以 $ x - 3 = 2 ( x + 5 ) $ 或 $ x - 3 = - 2 ( x + 5 ) $，解得 $ x = - 13 $ 或 $ x = - \frac { 7 } { 3 } $，即点 $ M $ 表示的数为 $ - 13 $ 或 $ - \frac { 7 } { 3 } $
(3) 设运动时间为 $ t $ 秒。所以当两点都在运动时，点 $ Q $ 表示的数是 $ 3 - 2 t $，点 $ P $ 表示的数是 $ - 5 + 4 t $。因为点 $ B $ 与点 $ A $ 的距离是 $ 8 $ 个单位长度，所以点 $ P $ 从点 $ B $ 出发到点 $ A $ 需要的时间为 $ 8 ÷ 4 = 2 $ (秒)。当点 $ Q $ 与点 $ P $ 未相遇时，$ 3 - 2 t = - ( - 5 + 4 t ) $，解得 $ t = 1 $，即点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 3 - 2 t = 1 $；当点 $ Q $ 与点 $ P $ 相遇时，$ 3 - 2 t = - 5 + 4 t $，解得 $ t = \frac { 4 } { 3 } $，即点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 3 - 2 t = \frac { 1 } { 3 } $；当点 $ P $ 停止运动，点 $ P $ 与点 $ Q $ 到原点的距离相等时，点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ - 3 $。综上所述，点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 1 $ 或 $ \frac { 1 } { 3 } $ 或 $ - 3 $
(1) 因为点 $ A $ 表示的数是 $ 3 $，点 $ B $ 位于点 $ A $ 的左侧，与点 $ A $ 的距离是 $ 8 $ 个单位长度，所以点 $ B $ 表示的数是 $ 3 - 8 = - 5 $ 如图所示
(2) 设点 $ M $ 表示的数为 $ x $。因为点 $ M $ 到点 $ A $ 的距离是到点 $ B $ 距离的 $ 2 $ 倍，所以 $ | x - 3 | = 2 | x - ( - 5 ) | $。所以 $ x - 3 = 2 ( x + 5 ) $ 或 $ x - 3 = - 2 ( x + 5 ) $，解得 $ x = - 13 $ 或 $ x = - \frac { 7 } { 3 } $，即点 $ M $ 表示的数为 $ - 13 $ 或 $ - \frac { 7 } { 3 } $
(3) 设运动时间为 $ t $ 秒。所以当两点都在运动时，点 $ Q $ 表示的数是 $ 3 - 2 t $，点 $ P $ 表示的数是 $ - 5 + 4 t $。因为点 $ B $ 与点 $ A $ 的距离是 $ 8 $ 个单位长度，所以点 $ P $ 从点 $ B $ 出发到点 $ A $ 需要的时间为 $ 8 ÷ 4 = 2 $ (秒)。当点 $ Q $ 与点 $ P $ 未相遇时，$ 3 - 2 t = - ( - 5 + 4 t ) $，解得 $ t = 1 $，即点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 3 - 2 t = 1 $；当点 $ Q $ 与点 $ P $ 相遇时，$ 3 - 2 t = - 5 + 4 t $，解得 $ t = \frac { 4 } { 3 } $，即点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 3 - 2 t = \frac { 1 } { 3 } $；当点 $ P $ 停止运动，点 $ P $ 与点 $ Q $ 到原点的距离相等时，点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ - 3 $。综上所述，点 $ Q $ 在数轴上表示的数为 $ 1 $ 或 $ \frac { 1 } { 3 } $ 或 $ - 3 $
2. 如图,在数轴上,点A表示的数为-35,点B表示的数为25,动点P从点A出发沿数轴正方向运动,同时,动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动. 已知当运动3秒时,P,Q两点相遇,且动点P,Q运动的速度(单位:单位长度/秒)之比是3:2.
(1) 点P的运动速度为
(2) 设点P的运动时间为t秒. 当4PQ= AB时,求运动时间.
(3) 若点P,Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点P,Q的运动,线段PQ正中间的点M也随着运动. 问:点M能否与表示-1的点重合?若能,求出从点P,Q相遇起经过的运动时间;若不能,请说明理由.
(1) 点P的运动速度为
12
单位长度/秒,点Q的运动速度为8
单位长度/秒.(2) 设点P的运动时间为t秒. 当4PQ= AB时,求运动时间.
运动时间为$\frac{9}{4}$秒或$\frac{15}{4}$秒
(3) 若点P,Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点P,Q的运动,线段PQ正中间的点M也随着运动. 问:点M能否与表示-1的点重合?若能,求出从点P,Q相遇起经过的运动时间;若不能,请说明理由.
能，从点P，Q相遇起经过的运动时间为$\frac{1}{5}$秒或1秒
答案：(1) $ 12 $ $ 8 $ 解析：设点 $ P $ 的运动速度为 $ 3 x $ 单位长度/秒，点 $ Q $ 的运动速度为 $ 2 x $ 单位长度/秒。由题意，得 $ 3 ( 3 x + 2 x ) = | - 35 - 25 | $，解得 $ x = 4 $。所以 $ 3 x = 12 $，$ 2 x = 8 $，即点 $ P $ 的运动速度为 $ 12 $ 单位长度/秒，点 $ Q $ 的运动速度为 $ 8 $ 单位长度/秒。
(2) 由 (1)，得点 $ P $ 表示的数为 $ - 35 + 12 t $，点 $ Q $ 表示的数为 $ 25 - 8 t $。由题意，得 $ 4 | ( - 35 + 12 t ) - ( 25 - 8 t ) | = 60 $，解得 $ t = \frac { 9 } { 4 } $ 或 $ t = \frac { 15 } { 4 } $，即运动时间为 $ \frac { 9 } { 4 } $ 秒或 $ \frac { 15 } { 4 } $ 秒
(3) 能 设从点 $ P $，$ Q $ 相遇起经过的运动时间为 $ a $ 秒。由题意，得相遇点表示的数为 $ - 35 + 12 × 3 = 1 $，所以点 $ P $ 表示的数为 $ 1 \pm 12 a $，点 $ Q $ 表示的数为 $ 1 \pm 8 a $。① 当点 $ P $，$ Q $ 均向左运动时，$ \frac { 1 - 12 a + 1 - 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = \frac { 1 } { 5 } $；② 当点 $ P $，$ Q $ 均向右运动时，$ \frac { 1 + 12 a + 1 + 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = - \frac { 1 } { 5 } $ (不合题意，舍去)；③ 当点 $ P $ 向左运动，点 $ Q $ 向右运动时，$ \frac { 1 - 12 a + 1 + 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = 1 $；④ 当点 $ P $ 向右运动，点 $ Q $ 向左运动时，$ \frac { 1 + 12 a + 1 - 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = - 1 $ (不合题意，舍去)。综上所述，点 $ M $ 与表示 $ - 1 $ 的点重合时，从点 $ P $，$ Q $ 相遇起经过的运动时间为 $ \frac { 1 } { 5 } $ 秒或 $ 1 $ 秒
(2) 由 (1)，得点 $ P $ 表示的数为 $ - 35 + 12 t $，点 $ Q $ 表示的数为 $ 25 - 8 t $。由题意，得 $ 4 | ( - 35 + 12 t ) - ( 25 - 8 t ) | = 60 $，解得 $ t = \frac { 9 } { 4 } $ 或 $ t = \frac { 15 } { 4 } $，即运动时间为 $ \frac { 9 } { 4 } $ 秒或 $ \frac { 15 } { 4 } $ 秒
(3) 能 设从点 $ P $，$ Q $ 相遇起经过的运动时间为 $ a $ 秒。由题意，得相遇点表示的数为 $ - 35 + 12 × 3 = 1 $，所以点 $ P $ 表示的数为 $ 1 \pm 12 a $，点 $ Q $ 表示的数为 $ 1 \pm 8 a $。① 当点 $ P $，$ Q $ 均向左运动时，$ \frac { 1 - 12 a + 1 - 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = \frac { 1 } { 5 } $；② 当点 $ P $，$ Q $ 均向右运动时，$ \frac { 1 + 12 a + 1 + 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = - \frac { 1 } { 5 } $ (不合题意，舍去)；③ 当点 $ P $ 向左运动，点 $ Q $ 向右运动时，$ \frac { 1 - 12 a + 1 + 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = 1 $；④ 当点 $ P $ 向右运动，点 $ Q $ 向左运动时，$ \frac { 1 + 12 a + 1 - 8 a } { 2 } = - 1 $，解得 $ a = - 1 $ (不合题意，舍去)。综上所述，点 $ M $ 与表示 $ - 1 $ 的点重合时，从点 $ P $，$ Q $ 相遇起经过的运动时间为 $ \frac { 1 } { 5 } $ 秒或 $ 1 $ 秒