3. 如图,数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a,b满足$(a - 10)^2+|b + 6| = 0$. 动点P从点A出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t＞0)秒.
(1) 写出数轴上点A表示的数是
(2) 当点P在点B的左侧运动时,M,N分别是线段PA,PB正中间的点,求PM - PN的值;
(3) 动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,Q同时出发,当点P运动多少秒时,P,Q两点相距4个单位长度?
(1) 写出数轴上点A表示的数是
10
,点B表示的数是-6
,点P表示的数是10 - 8t
(用含t的代数式表示);(2) 当点P在点B的左侧运动时,M,N分别是线段PA,PB正中间的点,求PM - PN的值;
因为点 P 在点 B 的左侧运动，M，N 分别是线段 PA，PB 正中间的点，所以点 M 表示的数是 $\frac{10 - 8t + 10}{2} = 10 - 4t$，点 N 表示的数是 $\frac{-6 + 10 - 8t}{2} = 2 - 4t$。所以 $PM = (10 - 4t) - (10 - 8t) = 4t$，$PN = (2 - 4t) - (10 - 8t) = 4t - 8$。所以 $PM - PN = 4t - (4t - 8) = 8$
(3) 动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,Q同时出发,当点P运动多少秒时,P,Q两点相距4个单位长度?
因为动点 Q 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，所以点 Q 表示的数是 $-6 - 4t$。因为点 P 表示的数是 $10 - 8t$，P，Q 两点相距 4 个单位长度，所以 $|(-6 - 4t) - (10 - 8t)| = 4$。所以 $4t - 16 = 4$ 或 $4t - 16 = -4$，解得 $t = 5$ 或 $t = 3$。所以当点 P 运动 5 秒或 3 秒时，P，Q 两点相距 4 个单位长度
答案：(1) $ 10 $ $ - 6 $ $ 10 - 8 t $
(2) 因为点 $ P $ 在点 $ B $ 的左侧运动，$ M $，$ N $ 分别是线段 $ P A $，$ P B $ 正中间的点，所以点 $ M $ 表示的数是 $ \frac { 10 - 8 t + 10 } { 2 } = 10 - 4 t $，点 $ N $ 表示的数是 $ \frac { - 6 + 10 - 8 t } { 2 } = 2 - 4 t $。所以 $ P M = ( 10 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) = 4 t $，$ P N = ( 2 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) = 4 t - 8 $。所以 $ P M - P N = 4 t - ( 4 t - 8 ) = 8 $
(3) 因为动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以每秒 $ 4 $ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，所以点 $ Q $ 表示的数是 $ - 6 - 4 t $。因为点 $ P $ 表示的数是 $ 10 - 8 t $，$ P $，$ Q $ 两点相距 $ 4 $ 个单位长度，所以 $ | ( - 6 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) | = 4 $。所以 $ 4 t - 16 = 4 $ 或 $ 4 t - 16 = - 4 $，解得 $ t = 5 $ 或 $ t = 3 $。所以当点 $ P $ 运动 $ 5 $ 秒或 $ 3 $ 秒时，$ P $，$ Q $ 两点相距 $ 4 $ 个单位长度
(2) 因为点 $ P $ 在点 $ B $ 的左侧运动，$ M $，$ N $ 分别是线段 $ P A $，$ P B $ 正中间的点，所以点 $ M $ 表示的数是 $ \frac { 10 - 8 t + 10 } { 2 } = 10 - 4 t $，点 $ N $ 表示的数是 $ \frac { - 6 + 10 - 8 t } { 2 } = 2 - 4 t $。所以 $ P M = ( 10 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) = 4 t $，$ P N = ( 2 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) = 4 t - 8 $。所以 $ P M - P N = 4 t - ( 4 t - 8 ) = 8 $
(3) 因为动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以每秒 $ 4 $ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，所以点 $ Q $ 表示的数是 $ - 6 - 4 t $。因为点 $ P $ 表示的数是 $ 10 - 8 t $，$ P $，$ Q $ 两点相距 $ 4 $ 个单位长度，所以 $ | ( - 6 - 4 t ) - ( 10 - 8 t ) | = 4 $。所以 $ 4 t - 16 = 4 $ 或 $ 4 t - 16 = - 4 $，解得 $ t = 5 $ 或 $ t = 3 $。所以当点 $ P $ 运动 $ 5 $ 秒或 $ 3 $ 秒时，$ P $，$ Q $ 两点相距 $ 4 $ 个单位长度
4. 如图,数轴上有A,B,C三点,点A和点B之间相距20个单位长度,且点A,B表示的有理数互为相反数,AC= 40. 数轴上有一动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t(t＞0)秒.
(1) 点A表示的有理数是
(2) 当t=
(3) 若点A,B,C,P同时在数轴上运动,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B和点C分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动,则是否存在常数m,使得mAP + 7BP - 2CP为一个定值?若存在,请求出m的值以及这个定值;若不存在,请说明理由.
(1) 点A表示的有理数是
-10
,点C表示的有理数是30
,点P表示的数是-10 + 2t
(用含t的代数式表示).(2) 当t=
6 或 14
时,P,B两点之间相距8个单位长度.(3) 若点A,B,C,P同时在数轴上运动,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B和点C分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动,则是否存在常数m,使得mAP + 7BP - 2CP为一个定值?若存在,请求出m的值以及这个定值;若不存在,请说明理由.
存在常数m，使得mAP + 7BP - 2CP为一个定值。由题意，可知点A表示的数为-10 - t，点B表示的数为10 + 3t，点C表示的数为30 + 4t，所以AP = -10 + 2t - (-10 - t) = 3t，BP = 10 + 3t - (-10 + 2t) = 20 + t，CP = 30 + 4t - (-10 + 2t) = 40 + 2t。所以mAP + 7BP - 2CP = 3mt + 7(20 + t) - 2(40 + 2t) = (3m + 3)t + 60。因为要使得mAP + 7BP - 2CP为一个定值，所以3m + 3 = 0，解得m = -1。所以mAP + 7BP - 2CP = (3m + 3)t + 60 = 60。综上所述，m的值为-1，这个定值为60。
答案：(1) $ - 10 $ $ 30 $ $ - 10 + 2 t $
(2) $ 6 $ 或 $ 14 $
(3) 存在常数 $ m $，使得 $ m A P + 7 B P - 2 C P $ 为一个定值 由题意，可知点 $ A $ 表示的数为 $ - 10 - t $，点 $ B $ 表示的数为 $ 10 + 3 t $，点 $ C $ 表示的数为 $ 30 + 4 t $，所以 $ A P = - 10 + 2 t - ( - 10 - t ) = 3 t $，$ B P = 10 + 3 t - ( - 10 + 2 t ) = 20 + t $，$ C P = 30 + 4 t - ( - 10 + 2 t ) = 40 + 2 t $。所以 $ m A P + 7 B P - 2 C P = 3 m t + 7 ( 20 + t ) - 2 ( 40 + 2 t ) = ( 3 m + 3 ) t + 60 $。因为要使得 $ m A P + 7 B P - 2 C P $ 为一个定值，所以 $ 3 m + 3 = 0 $，解得 $ m = - 1 $。所以 $ m A P + 7 B P - 2 C P = ( 3 m + 3 ) t + 60 = 60 $。综上所述，$ m $ 的值为 $ - 1 $，这个定值为 $ 60 $
(2) $ 6 $ 或 $ 14 $
(3) 存在常数 $ m $，使得 $ m A P + 7 B P - 2 C P $ 为一个定值 由题意，可知点 $ A $ 表示的数为 $ - 10 - t $，点 $ B $ 表示的数为 $ 10 + 3 t $，点 $ C $ 表示的数为 $ 30 + 4 t $，所以 $ A P = - 10 + 2 t - ( - 10 - t ) = 3 t $，$ B P = 10 + 3 t - ( - 10 + 2 t ) = 20 + t $，$ C P = 30 + 4 t - ( - 10 + 2 t ) = 40 + 2 t $。所以 $ m A P + 7 B P - 2 C P = 3 m t + 7 ( 20 + t ) - 2 ( 40 + 2 t ) = ( 3 m + 3 ) t + 60 $。因为要使得 $ m A P + 7 B P - 2 C P $ 为一个定值，所以 $ 3 m + 3 = 0 $，解得 $ m = - 1 $。所以 $ m A P + 7 B P - 2 C P = ( 3 m + 3 ) t + 60 = 60 $。综上所述，$ m $ 的值为 $ - 1 $，这个定值为 $ 60 $