9. 已知线段 $ AB $ 的长为 $ m $,$ C $ 为线段 $ AB $ 上一动点(不与点 $ A $,$ B $ 重合),$ D $ 为 $ AC $ 的中点,$ E $ 为 $ BC $ 的中点,随着点 $ C $ 的运动,线段 $ DE $ 的长(
A.随之变化
B.不改变,且为 $ \frac{2}{3}m $
C.不改变,且为 $ \frac{3}{5}m $
D.不改变,且为 $ \frac{1}{2}m $
D
)A.随之变化
B.不改变,且为 $ \frac{2}{3}m $
C.不改变,且为 $ \frac{3}{5}m $
D.不改变,且为 $ \frac{1}{2}m $
答案：D
解析：
解：因为D为AC的中点，所以$DC = \frac{1}{2}AC$。
因为E为BC的中点，所以$CE = \frac{1}{2}BC$。
则$DE = DC + CE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$。
又因为$AC + BC = AB = m$，所以$DE = \frac{1}{2}m$。
线段DE的长不改变，且为$\frac{1}{2}m$。
答案：D
因为E为BC的中点，所以$CE = \frac{1}{2}BC$。
则$DE = DC + CE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$。
又因为$AC + BC = AB = m$，所以$DE = \frac{1}{2}m$。
线段DE的长不改变，且为$\frac{1}{2}m$。
答案：D
10. 数轴上点 $ A $,$ B $ 分别表示数 $ -2 $ 和数 $ +1 $,$ C $ 是线段 $ AB $ 的中点,则点 $ C $ 表示的数是
$-0.5$
；若点 $ M $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度运动,则 $ t $ 秒后点 $ M $ 表示的数为$-2 + 2t $ 或 $ -2 - 2t$
.答案：$ -0.5 $ $ -2 + 2t $ 或 $ -2 - 2t $
解析：
解：因为数轴上点$A$表示数$-2$，点$B$表示数$+1$，所以线段$AB$的中点$C$表示的数为$\frac{-2 + 1}{2}=-0.5$。
点$M$从点$A$出发，以每秒$2$个单位长度的速度运动，若向右运动，$t$秒后点$M$表示的数为$-2 + 2t$；若向左运动，$t$秒后点$M$表示的数为$-2 - 2t$。
$-0.5$；$-2 + 2t$或$-2 - 2t$
点$M$从点$A$出发，以每秒$2$个单位长度的速度运动，若向右运动，$t$秒后点$M$表示的数为$-2 + 2t$；若向左运动，$t$秒后点$M$表示的数为$-2 - 2t$。
$-0.5$；$-2 + 2t$或$-2 - 2t$
11. 延长线段 $ AB $ 至点 $ C $,使 $ BC = \frac{1}{3}AB $,延长线段 $ BC $ 至点 $ D $,使 $ CD = \frac{1}{3}BC $. 如果 $ BD = 8 \text{ cm} $,那么 $ AB = $
18
$\text{cm} $.答案：18
解析：
设 $ AB = x $ cm。
因为 $ BC = \frac{1}{3}AB $，所以 $ BC = \frac{1}{3}x $ cm。
因为 $ CD = \frac{1}{3}BC $，所以 $ CD = \frac{1}{3} × \frac{1}{3}x = \frac{1}{9}x $ cm。
又因为 $ BD = BC + CD $，且 $ BD = 8 $ cm，所以：
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 8$
合并同类项得：
$\frac{3}{9}x + \frac{1}{9}x = 8 \implies \frac{4}{9}x = 8$
解得：
$x = 8 × \frac{9}{4} = 18$
所以 $ AB = 18 $ cm。
18
因为 $ BC = \frac{1}{3}AB $，所以 $ BC = \frac{1}{3}x $ cm。
因为 $ CD = \frac{1}{3}BC $，所以 $ CD = \frac{1}{3} × \frac{1}{3}x = \frac{1}{9}x $ cm。
又因为 $ BD = BC + CD $，且 $ BD = 8 $ cm，所以：
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 8$
合并同类项得：
$\frac{3}{9}x + \frac{1}{9}x = 8 \implies \frac{4}{9}x = 8$
解得：
$x = 8 × \frac{9}{4} = 18$
所以 $ AB = 18 $ cm。
18
12. 如图,点 $ B $ 在线段 $ AC $ 上,$ N $ 为线段 $ AB $ 的中点,$ M $ 为线段 $ AC $ 的中点.
(1)若 $ MN = 5 \text{ cm} $,求线段 $ BC $ 的长；
(2)若 $ BC = 10 \text{ cm} $,求线段 $ MN $ 的长.
(1)若 $ MN = 5 \text{ cm} $,求线段 $ BC $ 的长；
(2)若 $ BC = 10 \text{ cm} $,求线段 $ MN $ 的长.
答案：(1) 因为 N 为线段 AB 的中点，所以 $ AB = 2AN $。因为 M 为线段 AC 的中点，所以 $ AC = 2AM $。所以 $ BC = AC - AB = 2AM - 2AN = 2MN = 10 cm $ (2) 因为 N 为线段 AB 的中点，所以 $ AN = \frac{1}{2}AB $。因为 M 为线段 AC 的中点，所以 $ AM = \frac{1}{2}AC $。所以 $ MN = AM - AN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = 5 cm $
解析：
(1)
∵ N 为线段 AB 的中点，∴ $ AN = \frac{1}{2}AB $。
∵ M 为线段 AC 的中点，∴ $ AM = \frac{1}{2}AC $。
∵ $ MN = AM - AN $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB) $。
∵ $ AC - AB = BC $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}BC $。
∵ $ MN = 5 \, \text{cm} $，
∴ $ BC = 2MN = 2 × 5 = 10 \, \text{cm} $。
(2)
∵ N 为线段 AB 的中点，∴ $ AN = \frac{1}{2}AB $。
∵ M 为线段 AC 的中点，∴ $ AM = \frac{1}{2}AC $。
∵ $ MN = AM - AN $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB) $。
∵ $ AC - AB = BC $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}BC $。
∵ $ BC = 10 \, \text{cm} $，
∴ $ MN = \frac{1}{2} × 10 = 5 \, \text{cm} $。
∵ N 为线段 AB 的中点，∴ $ AN = \frac{1}{2}AB $。
∵ M 为线段 AC 的中点，∴ $ AM = \frac{1}{2}AC $。
∵ $ MN = AM - AN $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB) $。
∵ $ AC - AB = BC $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}BC $。
∵ $ MN = 5 \, \text{cm} $，
∴ $ BC = 2MN = 2 × 5 = 10 \, \text{cm} $。
(2)
∵ N 为线段 AB 的中点，∴ $ AN = \frac{1}{2}AB $。
∵ M 为线段 AC 的中点，∴ $ AM = \frac{1}{2}AC $。
∵ $ MN = AM - AN $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB) $。
∵ $ AC - AB = BC $，
∴ $ MN = \frac{1}{2}BC $。
∵ $ BC = 10 \, \text{cm} $，
∴ $ MN = \frac{1}{2} × 10 = 5 \, \text{cm} $。
13. 已知点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,$ M $ 为 $ AB $ 的中点,$ AM = 7 $,$ CM = 2 $.
(1)如图①,求 $ BC $ 的长；
(2)如图②,点 $ D $ 在线段 $ AB $ 上,若 $ AC = BD $,判断 $ M $ 是否为线段 $ CD $ 的中点,并说明理由.
(1)如图①,求 $ BC $ 的长；
(2)如图②,点 $ D $ 在线段 $ AB $ 上,若 $ AC = BD $,判断 $ M $ 是否为线段 $ CD $ 的中点,并说明理由.
答案：(1) 因为 M 为 AB 的中点，$ AM = 7 $，所以 $ BM = AM = 7 $。又因为 $ CM = 2 $，所以 $ BC = BM - CM = 5 $ (2) M 为线段 CD 的中点 理由：因为 $ AC = BD $，所以 $ AB - BC = AB - AD $。所以 $ BC = AD $。所以 $ AM - DM = BM - CM $。因为 M 为 AB 的中点，所以 $ AM = BM $。所以 $ DM = CM $，即 M 为线段 CD 的中点。
14. 如图.
(1)若线段 $ AD = 6 \text{ cm} $,线段 $ AC = BD = 4 \text{ cm} $,$ E $,$ F $ 分别是线段 $ AB $,$ CD $ 的中点,求线段 $ EF $ 的长.
(2)若 $ E $,$ F $ 分别是线段 $ AB $,$ CD $ 的中点.
① 当线段 $ AD = 10 \text{ cm} $,线段 $ EF = 7 \text{ cm} $ 时,求线段 $ BC $ 的长.
② 当 $ AD = a \text{ cm} $,$ EF = b \text{ cm} $ 时,你能用含 $ a $,$ b $ 的式子表示线段 $ BC $ 的长吗？若能,请直接写出答案.
(1)若线段 $ AD = 6 \text{ cm} $,线段 $ AC = BD = 4 \text{ cm} $,$ E $,$ F $ 分别是线段 $ AB $,$ CD $ 的中点,求线段 $ EF $ 的长.
(2)若 $ E $,$ F $ 分别是线段 $ AB $,$ CD $ 的中点.
① 当线段 $ AD = 10 \text{ cm} $,线段 $ EF = 7 \text{ cm} $ 时,求线段 $ BC $ 的长.
② 当 $ AD = a \text{ cm} $,$ EF = b \text{ cm} $ 时,你能用含 $ a $,$ b $ 的式子表示线段 $ BC $ 的长吗？若能,请直接写出答案.
答案：(1) 因为 $ AD = 6 \text{ cm} $，线段 $ AC = BD = 4 \text{ cm} $，$ E $，$ F $ 分别是线段 $ AB $，$ CD $ 的中点，求线段 $ EF $ 的长。所以 $ AB = AD - BD = 2 \text{ cm} $，$ CD = AD - AC = 2 \text{ cm} $。所以 $ BC = AD - AB - CD = 6 - 2 - 2 = 2(\text{cm}) $。又因为 $ E $，$ F $ 分别是线段 $ AB $，$ CD $ 的中点，所以 $ EB = \frac{1}{2}AB = 1 \text{ cm} $，$ CF = \frac{1}{2}CD = 1 \text{ cm} $。所以 $ EF = EB + BC + CF = 1 + 2 + 1 = 4(\text{cm}) $ (2) ① 当线段 $ AD = 10 \text{ cm} $，线段 $ EF = 7 \text{ cm} $ 时，求线段 $ BC $ 的长。因为 $ AD = 10 \text{ cm} $，$ EF = 7 \text{ cm} $，所以 $ AE + DF = AD - EF = 3 \text{ cm} $。因为 $ E $，$ F $ 分别是线段 $ AB $，$ CD $ 的中点，所以 $ AB = 2AE $，$ CD = 2DF $。所以 $ AB + CD = 2(AE + DF) = 6 \text{ cm} $。所以 $ BC = AD - (AB + CD) = 4 \text{ cm} $ ② 当 $ AD = a \text{ cm} $，$ EF = b \text{ cm} $ 时，你能用含 $ a $，$ b $ 的式子表示线段 $ BC $ 的长吗？若能，请直接写出答案。能 $ BC = (2b - a)\text{cm} $
解析：
(1)
∵ $ AD = 6 \, \text{cm} $, $ AC = BD = 4 \, \text{cm} $,
∴ $ AB = AD - BD = 6 - 4 = 2 \, \text{cm} $,
$ CD = AD - AC = 6 - 4 = 2 \, \text{cm} $,
$ BC = AD - AB - CD = 6 - 2 - 2 = 2 \, \text{cm} $.
∵ $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ CD $ 的中点,
∴ $ EB = \frac{1}{2}AB = 1 \, \text{cm} $, $ CF = \frac{1}{2}CD = 1 \, \text{cm} $,
∴ $ EF = EB + BC + CF = 1 + 2 + 1 = 4 \, \text{cm} $.
(2) ①
∵ $ AD = 10 \, \text{cm} $, $ EF = 7 \, \text{cm} $,
∴ $ AE + DF = AD - EF = 10 - 7 = 3 \, \text{cm} $.
∵ $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ CD $ 的中点,
∴ $ AB = 2AE $, $ CD = 2DF $,
∴ $ AB + CD = 2(AE + DF) = 2 × 3 = 6 \, \text{cm} $,
∴ $ BC = AD - (AB + CD) = 10 - 6 = 4 \, \text{cm} $.
②
能, $ BC = (2b - a) \, \text{cm} $.
∵ $ AD = 6 \, \text{cm} $, $ AC = BD = 4 \, \text{cm} $,
∴ $ AB = AD - BD = 6 - 4 = 2 \, \text{cm} $,
$ CD = AD - AC = 6 - 4 = 2 \, \text{cm} $,
$ BC = AD - AB - CD = 6 - 2 - 2 = 2 \, \text{cm} $.
∵ $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ CD $ 的中点,
∴ $ EB = \frac{1}{2}AB = 1 \, \text{cm} $, $ CF = \frac{1}{2}CD = 1 \, \text{cm} $,
∴ $ EF = EB + BC + CF = 1 + 2 + 1 = 4 \, \text{cm} $.
(2) ①
∵ $ AD = 10 \, \text{cm} $, $ EF = 7 \, \text{cm} $,
∴ $ AE + DF = AD - EF = 10 - 7 = 3 \, \text{cm} $.
∵ $ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ CD $ 的中点,
∴ $ AB = 2AE $, $ CD = 2DF $,
∴ $ AB + CD = 2(AE + DF) = 2 × 3 = 6 \, \text{cm} $,
∴ $ BC = AD - (AB + CD) = 10 - 6 = 4 \, \text{cm} $.
②
能, $ BC = (2b - a) \, \text{cm} $.