1. 将$\frac{1}{3}x = 1变形为x = 3$,其方法是(
A.等式两边同乘$\frac{1}{3}$
B.等式两边除以$\frac{1}{3}$
C.等式两边减$\frac{1}{3}$
D.等式两边加$\frac{1}{3}$
B
)A.等式两边同乘$\frac{1}{3}$
B.等式两边除以$\frac{1}{3}$
C.等式两边减$\frac{1}{3}$
D.等式两边加$\frac{1}{3}$
答案：B
解析：
解：将$\frac{1}{3}x = 1$变形为$x = 3$，等式两边需除以$\frac{1}{3}$（或同乘3）。选项中B符合。
答案：B
答案：B
2. (2024·海门期末)若$x = y$,则下列等式不一定成立的是(
A.$x + 1 = y + 1$
B.$x - m = y - m$
C.$ax = ay$
D.$\frac{x}{n} = \frac{y}{n}$
D
)A.$x + 1 = y + 1$
B.$x - m = y - m$
C.$ax = ay$
D.$\frac{x}{n} = \frac{y}{n}$
答案：D
解析：
解：当$x = y$时，
选项A：等式两边同时加1，得$x + 1 = y + 1$，成立；
选项B：等式两边同时减$m$，得$x - m = y - m$，成立；
选项C：等式两边同时乘$a$，得$ax = ay$，成立；
选项D：等式两边同时除以$n$，当$n = 0$时，$\frac{x}{n}$和$\frac{y}{n}$无意义，故不一定成立。
D
选项A：等式两边同时加1，得$x + 1 = y + 1$，成立；
选项B：等式两边同时减$m$，得$x - m = y - m$，成立；
选项C：等式两边同时乘$a$，得$ax = ay$，成立；
选项D：等式两边同时除以$n$，当$n = 0$时，$\frac{x}{n}$和$\frac{y}{n}$无意义，故不一定成立。
D
3. 下列将等式$4a = 2b - 1$进行变换正确的是(
A.$4a - 2b = 1$
B.$2b = 4a - 1$
C.$b = 2a + \frac{1}{2}$
D.$a = \frac{1}{2}b - 1$
C
)A.$4a - 2b = 1$
B.$2b = 4a - 1$
C.$b = 2a + \frac{1}{2}$
D.$a = \frac{1}{2}b - 1$
答案：C
解析：
解：对等式$4a = 2b - 1$进行变换：
选项A：等式两边减$2b$，得$4a - 2b = -1$，A错误；
选项B：等式两边加1，得$4a + 1 = 2b$，即$2b = 4a + 1$，B错误；
选项C：等式两边加1得$4a + 1 = 2b$，两边除以2得$b = 2a + \frac{1}{2}$，C正确；
选项D：等式两边除以4得$a = \frac{1}{2}b - \frac{1}{4}$，D错误。
结论：C
选项A：等式两边减$2b$，得$4a - 2b = -1$，A错误；
选项B：等式两边加1，得$4a + 1 = 2b$，即$2b = 4a + 1$，B错误；
选项C：等式两边加1得$4a + 1 = 2b$，两边除以2得$b = 2a + \frac{1}{2}$，C正确；
选项D：等式两边除以4得$a = \frac{1}{2}b - \frac{1}{4}$，D错误。
结论：C
4. (1)已知等式$4x = 3x + 7$,两边同时
(2)已知等式$\frac{1}{5}x = -\frac{1}{2}$,两边同时
减$3x$
,得$x = $7
,依据是等式的性质 1
；(2)已知等式$\frac{1}{5}x = -\frac{1}{2}$,两边同时
乘$5$
,得$x = $$-\frac{5}{2}$
,依据是等式的性质 2
。答案：(1) 减 $3x$ $7$ 等式的性质 1 (2) 乘 $5$ $-\frac{5}{2}$ 等式的性质 2
5. 若在等式$2025(x + 3) = 3(x + 3)$的两边同时除以$(x + 3)$就会得到$2025 = 3$,我们知道$2025 \neq 3$,则由此可以猜测$x + 3 = $
0
。答案：$0$
解析：
解：因为等式两边同时除以一个数时，这个数不能为0。若在等式$2025(x + 3) = 3(x + 3)$的两边同时除以$(x + 3)$后得到错误的$2025 = 3$，所以$(x + 3) = 0$。
$0$
$0$
6. (教材P117练习第1题变式)(1)若$5a + 8b = 3b + 10$,则$a + b = $
(2)若$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$,则$a - b = $
(3)若$\frac{2025}{x} = y$,则$xy = $
2
；(2)若$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$,则$a - b = $
6
；(3)若$\frac{2025}{x} = y$,则$xy = $
2025
。答案：(1) $2$ (2) $6$ (3) $2025$
解析：
(1)解：$5a + 8b = 3b + 10$
$5a + 8b - 3b = 10$
$5a + 5b = 10$
$5(a + b) = 10$
$a + b = 2$
(2)解：$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$
$\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}b = 2$
$\frac{1}{3}(a - b) = 2$
$a - b = 6$
(3)解：$\frac{2025}{x} = y$
$xy = 2025$
答案：(1)$2$；(2)$6$；(3)$2025$
$5a + 8b - 3b = 10$
$5a + 5b = 10$
$5(a + b) = 10$
$a + b = 2$
(2)解：$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$
$\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}b = 2$
$\frac{1}{3}(a - b) = 2$
$a - b = 6$
(3)解：$\frac{2025}{x} = y$
$xy = 2025$
答案：(1)$2$；(2)$6$；(3)$2025$
7. (教材P116例4变式)运用等式的性质解下列方程：
(1)$x + 6 = -2019$；
(2)$-9x = \frac{63}{4}$；
(3)$9x - 7 = -22$；
(4)$-\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
(1)$x + 6 = -2019$；
(2)$-9x = \frac{63}{4}$；
(3)$9x - 7 = -22$；
(4)$-\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
答案：(1)解：方程两边同时减去6，得$x+6-6=-2019-6$，即$x=-2025$。
(2)解：方程两边同时除以$-9$，得$-9x÷(-9)=\frac{63}{4}÷(-9)$，即$x=-\frac{7}{4}$。
(3)解：方程两边同时加上7，得$9x-7+7=-22+7$，即$9x=-15$，两边同时除以9，得$x=-\frac{5}{3}$。
(4)解：方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{6}$，两边同时乘以$-4$，得$x=\frac{2}{3}$。
(2)解：方程两边同时除以$-9$，得$-9x÷(-9)=\frac{63}{4}÷(-9)$，即$x=-\frac{7}{4}$。
(3)解：方程两边同时加上7，得$9x-7+7=-22+7$，即$9x=-15$，两边同时除以9，得$x=-\frac{5}{3}$。
(4)解：方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{6}$，两边同时乘以$-4$，得$x=\frac{2}{3}$。
解析：
(1)解：方程两边同时减去6，得$x+6-6=-2019-6$，即$x=-2025$。
(2)解：方程两边同时除以$-9$，得$-9x÷(-9)=\frac{63}{4}÷(-9)$，即$x=-\frac{7}{4}$。
(3)解：方程两边同时加上7，得$9x-7+7=-22+7$，即$9x=-15$，两边同时除以9，得$x=-\frac{5}{3}$。
(4)解：方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{6}$，两边同时乘以$-4$，得$x=\frac{2}{3}$。
(2)解：方程两边同时除以$-9$，得$-9x÷(-9)=\frac{63}{4}÷(-9)$，即$x=-\frac{7}{4}$。
(3)解：方程两边同时加上7，得$9x-7+7=-22+7$，即$9x=-15$，两边同时除以9，得$x=-\frac{5}{3}$。
(4)解：方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{6}$，两边同时乘以$-4$，得$x=\frac{2}{3}$。
8. (易错题)下列变形符合等式的性质的是(
A.若$a = b$,则$\frac{a}{t^{2}+1} = \frac{b}{t^{2}+1}$
B.若$mk = nk$,则$m = n$
C.若$-3x = 5$,则$x = \frac{5}{3}$
D.若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$,则$2x = 3y$
A
)A.若$a = b$,则$\frac{a}{t^{2}+1} = \frac{b}{t^{2}+1}$
B.若$mk = nk$,则$m = n$
C.若$-3x = 5$,则$x = \frac{5}{3}$
D.若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$,则$2x = 3y$
答案：A [易错分析]对等式的性质理解不透彻致错.
9. 学习了一元一次方程后,甲、乙两同学分别写出了一个结论。甲同学：若$x = 1是关于x的方程a + bx + c = 0(b \neq 0)$的一个解,则$a + b + c = 0$；乙同学：若$b = 3a$,则关于$x的方程ax + b = 0(a \neq 0)的解为x = -\frac{1}{3}$。下列说法正确的是(
A.甲同学的结论正确
B.乙同学的结论正确
C.甲、乙两同学的结论都正确
D.甲、乙两同学的结论都错误
A
)A.甲同学的结论正确
B.乙同学的结论正确
C.甲、乙两同学的结论都正确
D.甲、乙两同学的结论都错误
答案：A
解析：
解：甲同学：因为$x = 1$是方程$a + bx + c = 0(b \neq 0)$的解，将$x = 1$代入方程得$a + b×1 + c = 0$，即$a + b + c = 0$，甲正确。
乙同学：方程$ax + b = 0(a \neq 0)$，移项得$ax=-b$，解得$x=-\frac{b}{a}$。因为$b = 3a$，所以$x=-\frac{3a}{a}=-3$，乙错误。
结论：A.甲同学的结论正确
乙同学：方程$ax + b = 0(a \neq 0)$，移项得$ax=-b$，解得$x=-\frac{b}{a}$。因为$b = 3a$，所以$x=-\frac{3a}{a}=-3$，乙错误。
结论：A.甲同学的结论正确