1. 若$x^{m - 1} + m = 0是关于x$的一元一次方程,则这个方程的解是(
A.$x = 2$
B.$x = - 2$
C.$x = - 1$
D.$x = 1$
B
)A.$x = 2$
B.$x = - 2$
C.$x = - 1$
D.$x = 1$
答案：B
解析：
解：因为方程$x^{m - 1} + m = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以未知数$x$的次数为$1$，即$m - 1 = 1$，解得$m = 2$。将$m = 2$代入原方程得$x + 2 = 0$，解得$x = -2$。
答案：B
答案：B
2. (2024·海安期末)如果$a = b$,那么下列等式一定成立的是(
A.$a + 3 = b - 3$
B.$a + b = 0$
C.$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$
D.$ab = 1$
C
)A.$a + 3 = b - 3$
B.$a + b = 0$
C.$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$
D.$ab = 1$
答案：C
解析：
解：A. 若$a = b$，则$a + 3 = b + 3\neq b - 3$，不成立；
B. 若$a = b$，当$a = b = 1$时，$a + b = 2\neq 0$，不成立；
C. 若$a = b$，等式两边同时除以3，得$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$，成立；
D. 若$a = b = 0$时，$ab = 0\neq 1$，不成立。
答案：C
B. 若$a = b$，当$a = b = 1$时，$a + b = 2\neq 0$，不成立；
C. 若$a = b$，等式两边同时除以3，得$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$，成立；
D. 若$a = b = 0$时，$ab = 0\neq 1$，不成立。
答案：C
3. 下列变形中,正确的是(
A.由$4 + 2x = - 13$,得$2x = - 13 + 4$
B.由$5x = - 3$,得$x = - \frac{5}{3}$
C.由$5x = - 3x + 40$,得$5x + 3x = 40$
D.由$\frac{x}{2} = 0$,得$x = 2$
C
)A.由$4 + 2x = - 13$,得$2x = - 13 + 4$
B.由$5x = - 3$,得$x = - \frac{5}{3}$
C.由$5x = - 3x + 40$,得$5x + 3x = 40$
D.由$\frac{x}{2} = 0$,得$x = 2$
答案：C
解析：
解：A.由$4 + 2x = -13$，得$2x = -13 - 4$，原变形错误；
B.由$5x = -3$，得$x = -\frac{3}{5}$，原变形错误；
C.由$5x = -3x + 40$，得$5x + 3x = 40$，变形正确；
D.由$\frac{x}{2} = 0$，得$x = 0$，原变形错误。
故选：C
B.由$5x = -3$，得$x = -\frac{3}{5}$，原变形错误；
C.由$5x = -3x + 40$，得$5x + 3x = 40$，变形正确；
D.由$\frac{x}{2} = 0$，得$x = 0$，原变形错误。
故选：C
4. 若方程$- 6x = - 3与关于x的方程7x - 2k = 4$的解互为倒数,则$k$的值为(
A.5
B.$- 5$
C.$- \frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
A
)A.5
B.$- 5$
C.$- \frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
答案：A
解析：
解：解方程$-6x = -3$，得$x=\frac{1}{2}$。
因为两方程的解互为倒数，所以方程$7x - 2k = 4$的解为$x = 2$。
将$x = 2$代入$7x - 2k = 4$，得$7×2 - 2k = 4$，即$14 - 2k = 4$。
解得$-2k = 4 - 14$，$-2k=-10$，$k = 5$。
答案：A
因为两方程的解互为倒数，所以方程$7x - 2k = 4$的解为$x = 2$。
将$x = 2$代入$7x - 2k = 4$，得$7×2 - 2k = 4$，即$14 - 2k = 4$。
解得$-2k = 4 - 14$，$-2k=-10$，$k = 5$。
答案：A
5. 小南在解关于$x的一元一次方程\frac{x}{4} + m = \frac{1}{3}$时,由于粗心,在去分母时出现漏乘错误,把原方程化为$3x + m = 4$,并解得$x = 2$,则原方程正确的解为(
A.$x = - \frac{20}{3}$
B.$x = 2$
C.$x = \frac{28}{3}$
D.$x = \frac{5}{4}$
C
)A.$x = - \frac{20}{3}$
B.$x = 2$
C.$x = \frac{28}{3}$
D.$x = \frac{5}{4}$
答案：C
解析：
解：将$x = 2$代入$3x + m = 4$，得$3×2 + m = 4$，解得$m = -2$。
原方程为$\frac{x}{4} - 2 = \frac{1}{3}$，去分母得$3x - 24 = 4$，移项得$3x = 28$，解得$x = \frac{28}{3}$。
答案：C
原方程为$\frac{x}{4} - 2 = \frac{1}{3}$，去分母得$3x - 24 = 4$，移项得$3x = 28$，解得$x = \frac{28}{3}$。
答案：C
6. 若$x = 2是关于x的方程\frac{x}{2} - a = x + 2$的解,则$a^{2} - 1$的值是
8
。答案：8
解析：
解：将$x = 2$代入方程$\frac{x}{2} - a = x + 2$，得
$\frac{2}{2} - a = 2 + 2$
$1 - a = 4$
$-a = 4 - 1$
$-a = 3$
$a = -3$
则$a^2 - 1 = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
8
$\frac{2}{2} - a = 2 + 2$
$1 - a = 4$
$-a = 4 - 1$
$-a = 3$
$a = -3$
则$a^2 - 1 = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
8
7. 若关于$x的方程x + 3b = 1与方程5x = 5 + 4x$的解互为相反数,则$b$的值为
2
。答案：2
解析：
解：解方程$5x = 5 + 4x$，得$x = 5$。
因为两方程的解互为相反数，所以方程$x + 3b = 1$的解为$x = -5$。
将$x = -5$代入$x + 3b = 1$，得$-5 + 3b = 1$，解得$b = 2$。
2
因为两方程的解互为相反数，所以方程$x + 3b = 1$的解为$x = -5$。
将$x = -5$代入$x + 3b = 1$，得$-5 + 3b = 1$，解得$b = 2$。
2
8. 已知关于$x的方程2ax = (a + 1)x + 3$的解是正整数,则正整数$a$的值为
2 或 4
。答案：2 或 4 解析:整理方程,得$(a - 1)x = 3$. 因为方程有解,所以$a - 1 ≠ 0$,即$a ≠ 1$. 所以$x = \frac{3}{a - 1}$. 因为$a$为正整数,所以$a - 1$为正整数. 由题意,得$a - 1 = 1$或$a - 1 = 3$. 所以$a = 2$或$a = 4$. 所以正整数$a$的值为 2 或 4.
解析：
解：整理方程，得$(a - 1)x = 3$.
因为方程有解，所以$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$.
所以$x = \frac{3}{a - 1}$.
因为$a$为正整数，$x$为正整数，所以$a - 1$是3的正因数.
则$a - 1 = 1$或$a - 1 = 3$.
解得$a = 2$或$a = 4$.
2 或 4
因为方程有解，所以$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$.
所以$x = \frac{3}{a - 1}$.
因为$a$为正整数，$x$为正整数，所以$a - 1$是3的正因数.
则$a - 1 = 1$或$a - 1 = 3$.
解得$a = 2$或$a = 4$.
2 或 4
9. (新考向·传统文化)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托。”大意如下：现有一竿和一绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,那么就比竿短5尺。绳索和竿各为几尺？设竿长为$x$尺,可列方程为
$\frac{1}{2}(x + 5) = x - 5$
。答案：$\frac{1}{2}(x + 5) = x - 5$
解析：
解：设竿长为$x$尺，因为绳索比竿长$5$尺，所以绳索长为$(x + 5)$尺。将绳索对半折后长度为$\frac{1}{2}(x + 5)$尺，此时比竿短$5$尺，可列方程为$\frac{1}{2}(x + 5) = x - 5$。
$\frac{1}{2}(x + 5) = x - 5$
$\frac{1}{2}(x + 5) = x - 5$
10. (教材P125例6变式)一架飞机飞行于两座城市之间,顺风飞行需要5h30min,逆风飞行需要6h。已知风速为20km/h,则飞机在不受风影响时的飞行速度为
460
km/h。答案：460
解析：
解：设飞机在不受风影响时的飞行速度为$x$km/h。
5h30min = 5.5h
顺风速度为$(x + 20)$km/h，逆风速度为$(x - 20)$km/h。
根据两座城市之间距离相等，可得方程：
$5.5(x + 20) = 6(x - 20)$
$5.5x + 110 = 6x - 120$
$6x - 5.5x = 110 + 120$
$0.5x = 230$
$x = 460$
460
5h30min = 5.5h
顺风速度为$(x + 20)$km/h，逆风速度为$(x - 20)$km/h。
根据两座城市之间距离相等，可得方程：
$5.5(x + 20) = 6(x - 20)$
$5.5x + 110 = 6x - 120$
$6x - 5.5x = 110 + 120$
$0.5x = 230$
$x = 460$
460
11. 解下列方程：
(1)$- 2x - 6 = 8 + 5x$；
(2)$4x - 3(4 - x) = 2$；
(3)$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{1 - 10x}{6}$。
(1)$- 2x - 6 = 8 + 5x$；
(2)$4x - 3(4 - x) = 2$；
(3)$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{1 - 10x}{6}$。
答案：(1)解：移项，得$-2x - 5x = 8 + 6$
合并同类项，得$-7x = 14$
系数化为1，得$x = -2$
(2)解：去括号，得$4x - 12 + 3x = 2$
移项，得$4x + 3x = 2 + 12$
合并同类项，得$7x = 14$
系数化为1，得$x = 2$
(3)解：去分母，得$2(2x + 1) = 6 - (1 - 10x)$
去括号，得$4x + 2 = 6 - 1 + 10x$
移项，得$4x - 10x = 6 - 1 - 2$
合并同类项，得$-6x = 3$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{2}$
合并同类项，得$-7x = 14$
系数化为1，得$x = -2$
(2)解：去括号，得$4x - 12 + 3x = 2$
移项，得$4x + 3x = 2 + 12$
合并同类项，得$7x = 14$
系数化为1，得$x = 2$
(3)解：去分母，得$2(2x + 1) = 6 - (1 - 10x)$
去括号，得$4x + 2 = 6 - 1 + 10x$
移项，得$4x - 10x = 6 - 1 - 2$
合并同类项，得$-6x = 3$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{2}$
解析：
(1)解：移项，得$-2x - 5x = 8 + 6$
合并同类项，得$-7x = 14$
系数化为1，得$x = -2$
(2)解：去括号，得$4x - 12 + 3x = 2$
移项，得$4x + 3x = 2 + 12$
合并同类项，得$7x = 14$
系数化为1，得$x = 2$
(3)解：去分母，得$2(2x + 1) = 6 - (1 - 10x)$
去括号，得$4x + 2 = 6 - 1 + 10x$
移项，得$4x - 10x = 6 - 1 - 2$
合并同类项，得$-6x = 3$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{2}$
合并同类项，得$-7x = 14$
系数化为1，得$x = -2$
(2)解：去括号，得$4x - 12 + 3x = 2$
移项，得$4x + 3x = 2 + 12$
合并同类项，得$7x = 14$
系数化为1，得$x = 2$
(3)解：去分母，得$2(2x + 1) = 6 - (1 - 10x)$
去括号，得$4x + 2 = 6 - 1 + 10x$
移项，得$4x - 10x = 6 - 1 - 2$
合并同类项，得$-6x = 3$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{2}$