23. (8分)如图,观察图形,解答下列问题：
(1)图中的点被线隔开分成四层,第①层有1个点,第②层有3个点,第③层有5个点,第④层有
(2)如果继续画下去,那么第⑤层有多少个点？第$n$($n$为正整数)层呢？
(3)第①层与第②层的点的个数的和是多少？前3层的点的个数的和是多少？前4层呢？你有没有发现什么规律(用含$n$的式子表示)？根据你发现的规律,计算前12层的点的个数的和.
(2)如果继续画下去,那么第⑤层有9个点,第$n$层有$(2n - 1)$个点
(3)第①层与第②层的点的个数的和是4,前3层的点的个数的和是9,前4层的点的个数的和是16.发现的规律是前$n$层的点的个数的和是$n^{2}$.因为$12^{2}=144$,所以前12层的点的个数的和是144
(1)图中的点被线隔开分成四层,第①层有1个点,第②层有3个点,第③层有5个点,第④层有
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个点.(2)如果继续画下去,那么第⑤层有多少个点？第$n$($n$为正整数)层呢？
(3)第①层与第②层的点的个数的和是多少？前3层的点的个数的和是多少？前4层呢？你有没有发现什么规律(用含$n$的式子表示)？根据你发现的规律,计算前12层的点的个数的和.
(2)如果继续画下去,那么第⑤层有9个点,第$n$层有$(2n - 1)$个点
(3)第①层与第②层的点的个数的和是4,前3层的点的个数的和是9,前4层的点的个数的和是16.发现的规律是前$n$层的点的个数的和是$n^{2}$.因为$12^{2}=144$,所以前12层的点的个数的和是144
答案：23. (1) 7 (2) 如果继续画下去, 那么第⑤层有 9 个点, 第 $ n $ 层有 $ (2n - 1) $ 个点 (3) 第①层与第②层的点的个数的和是 4, 前 3 层的点的个数的和是 9, 前 4 层的点的个数的和是 16. 发现的规律是前 $ n $ 层的点的个数的和是 $ n ^ { 2 } $. 因为 $ 12 ^ { 2 } = 144 $, 所以前 12 层的点的个数的和是 144
24. (10分)在小学,我们知道像12,27,36,45,108,…这样的自然数能被3整除. 一般地,如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除. 事实上,我们可以证明这个结论的正确性. 以两位数为例,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a$,$b$,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab} = 10a + b = 9a + (a + b)$,显然,$9a$能被3整除,因此,若$a + b$能被3整除,则$9a + (a + b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
根据上述材料,解答下列问题：
(1)有下列各数：①25；②225；③1025；④2025. 其中,能被3整除的有
(2)设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a + b + c + d$能被3整除,试说明：这个数能被3整除.
(3)设$\overline{a_{n}a_{n - 1}… a_{1}a_{0}}$表示任意一个(n + 1)位自然数,若$a_{n} + a_{n - 1} + … + a_{1} + a_{0}$能被3整除,试说明：$\overline{a_{n}a_{n - 1}… a_{1}a_{0}}$能被3整除.
根据上述材料,解答下列问题：
(1)有下列各数：①25；②225；③1025；④2025. 其中,能被3整除的有
②④
(填序号).(2)设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a + b + c + d$能被3整除,试说明：这个数能被3整除.
$ \overline { a b c d } = 1000a + 100b + 10c + d = (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d) $. 因为 $ 999a + 99b + 9c $ 能被 3 整除, 所以若 $ a + b + c + d $ 能被 3 整除, 则 $ \overline { a b c d } $ 能被 3 整除
(3)设$\overline{a_{n}a_{n - 1}… a_{1}a_{0}}$表示任意一个(n + 1)位自然数,若$a_{n} + a_{n - 1} + … + a_{1} + a_{0}$能被3整除,试说明：$\overline{a_{n}a_{n - 1}… a_{1}a_{0}}$能被3整除.
$ \overline { a _ { n } a _ { n - 1 } \cdots a _ { 1 } a _ { 0 } } = 10 ^ { n } a _ { n } + 10 ^ { n - 1 } a _ { n - 1 } + \cdots + 10a _ { 1 } + a _ { 0 } = ( \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { n \text { 个 } 9 } a _ { n } + \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { (n - 1) \text { 个 } 9 } a _ { n - 1 } + \cdots + 9a _ { 1 } ) + (a _ { n } + a _ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } + a _ { 0 } ) $. 因为 $ \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { n \text { 个 } 9 } a _ { n } + \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { (n - 1) \text { 个 } 9 } a _ { n - 1 } + \cdots + 9a _ { 1 } $ 能被 3 整除, 所以若 $ a _ { n } + a _ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } + a _ { 0 } $ 能被 3 整除, 则 $ \overline { a _ { n } a _ { n - 1 } \cdots a _ { 1 } a _ { 0 } } $ 能被 3 整除
答案：24. (1) ②④ (2) $ \overline { a b c d } = 1000a + 100b + 10c + d = (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d) $. 因为 $ 999a + 99b + 9c $ 能被 3 整除, 所以若 $ a + b + c + d $ 能被 3 整除, 则 $ \overline { a b c d } $ 能被 3 整除 (3) $ \overline { a _ { n } a _ { n - 1 } \cdots a _ { 1 } a _ { 0 } } = 10 ^ { n } a _ { n } + 10 ^ { n - 1 } a _ { n - 1 } + \cdots + 10a _ { 1 } + a _ { 0 } = ( \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { n \text { 个 } 9 } a _ { n } + \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { (n - 1) \text { 个 } 9 } a _ { n - 1 } + \cdots + 9a _ { 1 } ) + (a _ { n } + a _ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } + a _ { 0 } ) $. 因为 $ \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { n \text { 个 } 9 } a _ { n } + \underbrace { 99 \cdots 9 } _ { (n - 1) \text { 个 } 9 } a _ { n - 1 } + \cdots + 9a _ { 1 } $ 能被 3 整除, 所以若 $ a _ { n } + a _ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } + a _ { 0 } $ 能被 3 整除, 则 $ \overline { a _ { n } a _ { n - 1 } \cdots a _ { 1 } a _ { 0 } } $ 能被 3 整除