1.(2024·江西吉安吉州区期中)填空：已知∠AOB= 90°,∠COD= 90°,OE平分∠BOD,∠AOC= 30°.
(1)如图,OC在∠AOB内部时,求∠COE的度数.
解：∵∠AOB= 90°,∴∠BOC+∠AOC= 90°.
∵∠COD= 90°,∴∠BOC+∠BOD= 90°,
∴∠AOC= ∠BOD(______)(填写推理依据).
∵∠AOC= 30°,∴∠BOD= 30°.
∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE= ______= ______°(______)(填写推理依据),
∴∠COE= ∠COD-∠DOE= ______°.
(2)若OC在∠AOB外部,∠COE的度数为______.
(1)如图,OC在∠AOB内部时,求∠COE的度数.
解：∵∠AOB= 90°,∴∠BOC+∠AOC= 90°.
∵∠COD= 90°,∴∠BOC+∠BOD= 90°,
∴∠AOC= ∠BOD(______)(填写推理依据).
∵∠AOC= 30°,∴∠BOD= 30°.
∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE= ______= ______°(______)(填写推理依据),
∴∠COE= ∠COD-∠DOE= ______°.
(2)若OC在∠AOB外部,∠COE的度数为______.
答案：
同角的余角相等 ∠BOE 15 角平分线的定义 75
(2)165°或105° [解析]分情况讨论:
①如图
(1),当 OD 在∠AOB 外部时,
∵∠AOB=90°,∠COD=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOD=360°-90°-90°-30°=150°.
∵OE 平分∠BOD,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=75°,
∴∠COE=∠COD + ∠DOE=90°+75°=165°.
②如图
(2),当 OD 在∠AOB 内部时,
∵∠AOB=90°,∠COD=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOD=30°.
∵OE 平分∠BOD,
∴∠DOE=15°.
∴∠COE=∠COD + ∠DOE=90°+15°=105°.
关键提醒 本题考查了余角和周角、角平分线的定义,熟练掌握同角的余角相等是解题的关键.
同角的余角相等 ∠BOE 15 角平分线的定义 75
(2)165°或105° [解析]分情况讨论:
①如图
(1),当 OD 在∠AOB 外部时,
∵∠AOB=90°,∠COD=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOD=360°-90°-90°-30°=150°.
∵OE 平分∠BOD,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=75°,
∴∠COE=∠COD + ∠DOE=90°+75°=165°.
②如图
(2),当 OD 在∠AOB 内部时,
∵∠AOB=90°,∠COD=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOD=30°.
∵OE 平分∠BOD,
∴∠DOE=15°.
∴∠COE=∠COD + ∠DOE=90°+15°=105°.
关键提醒 本题考查了余角和周角、角平分线的定义,熟练掌握同角的余角相等是解题的关键.
变式1.1 (2025·北京怀柔区期末)如图是某航海区域的情况,在灯塔O附近有A,B,C,D,E,F六座海轮,其中F到灯塔的距离为10 km,海轮F在灯塔和海轮D的中点处.且∠AOD= 42°30′,∠DOE= ∠AOC= 78.5°.则下列说法正确的是(
①若海轮F的速度为30 km/h,则海轮F抵达灯塔需要20 min；②∠EOC= 43°；③∠BOE= 59°；④C在灯塔的北偏东11°30′的方向上.
A.①④
B.①②
C.①③④
D.①②③④
C
).①若海轮F的速度为30 km/h,则海轮F抵达灯塔需要20 min；②∠EOC= 43°；③∠BOE= 59°；④C在灯塔的北偏东11°30′的方向上.
A.①④
B.①②
C.①③④
D.①②③④
答案：C [解析]①若海轮 F 的速度为 30 km/h,则海轮 F 抵达灯塔需要$\frac{10}{30}$h = 20 min,故①正确;②
∵∠DOE=∠AOC,
∴∠DOE - ∠COD=∠AOC - ∠COD,
∴∠EOC=∠AOD=42°30',故②错误;③∠BOE=180° - ∠AOD - ∠DOE=180° - 42°30' - 78.5°=59°,故③正确;④
∵90° - ∠AOC=11°30',
∴C 在灯塔的北偏东 11°30'的方向上,故④正确.故选 C.
∵∠DOE=∠AOC,
∴∠DOE - ∠COD=∠AOC - ∠COD,
∴∠EOC=∠AOD=42°30',故②错误;③∠BOE=180° - ∠AOD - ∠DOE=180° - 42°30' - 78.5°=59°,故③正确;④
∵90° - ∠AOC=11°30',
∴C 在灯塔的北偏东 11°30'的方向上,故④正确.故选 C.
变式1.2 (2025·陕西西安高陵区期末)[问题背景]已知OB是∠AOC内部的一条射线,OM是∠AOB内部的一条射线,ON是∠BOC内部的一条射线.
[初步探究](1)如图(1),已知∠AOB= 30°,OM是∠AOB的角平分线.
①则∠AOM= ______
②若∠MON= 70°,ON是∠BOC的角平分线,求∠BOC的度数.
[拓展提升](2)如图(2),若∠AOC= 140°,∠AOB= 4∠AOM= 4∠CON,且$∠BON= \frac{2}{3}∠BOM,$求∠MON的度数.
[初步探究](1)如图(1),已知∠AOB= 30°,OM是∠AOB的角平分线.
①则∠AOM= ______
15°
；②若∠MON= 70°,ON是∠BOC的角平分线,求∠BOC的度数.
∵∠AOB=30°,OM 是∠AOB 的平分线,∴∠BOM=∠AOM=15°.∵∠MON=70°,∴∠BON=∠MON - ∠BOM=55°.∵ON 平分∠BOC,∴∠BOC=2∠BON=110°.
[拓展提升](2)如图(2),若∠AOC= 140°,∠AOB= 4∠AOM= 4∠CON,且$∠BON= \frac{2}{3}∠BOM,$求∠MON的度数.
设∠AOM=∠CON=α,则∠AOB=4α.∵∠BOM=∠AOB - ∠AOM,∴∠BOM=4α - α=3α.∵∠BON=$\frac{2}{3}$∠BOM,∴∠BON=2α.∵∠AOC=∠AOB + ∠BON + ∠CON=140°,∴4α + 2α + α=140°,∴α=20°.∵∠MON=∠BOM + ∠BON,∴∠MON=3α + 2α=100°.
答案：
(1)①15° [解析]
∵∠AOB=30°,OM 是∠AOB 的角平分线,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°.
②
∵∠AOB=30°,OM 是∠AOB 的平分线,
∴∠BOM=∠AOM=15°.
∵∠MON=70°,
∴∠BON=∠MON - ∠BOM=55°.
∵ON 平分∠BOC,
∴∠BOC=2∠BON=110°.
(2)设∠AOM=∠CON=α,则∠AOB=4α.
∵∠BOM=∠AOB - ∠AOM,
∴∠BOM=4α - α=3α.
∵∠BON=$\frac{2}{3}$∠BOM,
∴∠BON=2α.
∵∠AOC=∠AOB + ∠BON + ∠CON=140°,
∴4α + 2α + α=140°,
∴α=20°.
∵∠MON=∠BOM + ∠BON,
∴∠MON=3α + 2α=100°.
(1)①15° [解析]
∵∠AOB=30°,OM 是∠AOB 的角平分线,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°.
②
∵∠AOB=30°,OM 是∠AOB 的平分线,
∴∠BOM=∠AOM=15°.
∵∠MON=70°,
∴∠BON=∠MON - ∠BOM=55°.
∵ON 平分∠BOC,
∴∠BOC=2∠BON=110°.
(2)设∠AOM=∠CON=α,则∠AOB=4α.
∵∠BOM=∠AOB - ∠AOM,
∴∠BOM=4α - α=3α.
∵∠BON=$\frac{2}{3}$∠BOM,
∴∠BON=2α.
∵∠AOC=∠AOB + ∠BON + ∠CON=140°,
∴4α + 2α + α=140°,
∴α=20°.
∵∠MON=∠BOM + ∠BON,
∴∠MON=3α + 2α=100°.
2.(2025·河南漯河舞阳县期末)如图,OB是∠AOC内部一条射线,OM是∠AOB平分线,ON是∠AOC的平分线,OP是∠NOA平分线,OQ是∠MOA的平分线,则∠POQ：∠BOC= (
A.1：2
B.1：3
C.2：5
D.1：4
D
).A.1：2
B.1：3
C.2：5
D.1：4
答案：D [解析]
∵OM 是∠AOB 的平分线,OQ 是∠MOA 平分线,
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOM=$\frac{1}{4}$∠AOB.
∵ON 是∠AOC 的平分线,OP 是∠NOA 的平分线,
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{4}$∠AOC=$\frac{1}{4}$(∠AOB + ∠BOC),
∴∠POQ=∠AOP - ∠AOQ=$\frac{1}{4}$(∠AOB + ∠BOC) - $\frac{1}{4}$∠AOB=$\frac{1}{4}$∠BOC,
∴∠POQ:∠BOC=1:4.
故选 D.
∵OM 是∠AOB 的平分线,OQ 是∠MOA 平分线,
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOM=$\frac{1}{4}$∠AOB.
∵ON 是∠AOC 的平分线,OP 是∠NOA 的平分线,
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{4}$∠AOC=$\frac{1}{4}$(∠AOB + ∠BOC),
∴∠POQ=∠AOP - ∠AOQ=$\frac{1}{4}$(∠AOB + ∠BOC) - $\frac{1}{4}$∠AOB=$\frac{1}{4}$∠BOC,
∴∠POQ:∠BOC=1:4.
故选 D.