1. (2025·连云港期末)如图所示,钟表上显示的时间是10时10分,此时,时针和分针的夹角的度数是(
A.100°
B.105°
C.115°
D.120°
C
).A.100°
B.105°
C.115°
D.120°
答案：C [解析]
∵时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,
∴当钟表上10时10分时,时针从10时转过10分钟转了0.5°×10=5°,此时时针与12时的夹角为60°−5°=55°,分针从12的位置顺时针转了6°×10=60°,
∴10时10分时分针与时针的夹角的度数为55°+60°=115°.
故选C.
∵时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,
∴当钟表上10时10分时,时针从10时转过10分钟转了0.5°×10=5°,此时时针与12时的夹角为60°−5°=55°,分针从12的位置顺时针转了6°×10=60°,
∴10时10分时分针与时针的夹角的度数为55°+60°=115°.
故选C.
2. (2025·镇江丹徒区期末)如图,已知O为直线AD上一点,OC是∠AOB内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补,OM,ON分别为∠AOB,∠AOC的角平分线.
(1)∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由.
(2)若∠AOB= 150°,试求∠AON与∠MON的度数.
(3)若∠MON= 52°,试求∠AOB的度数.
(1)∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由.
(2)若∠AOB= 150°,试求∠AON与∠MON的度数.
(3)若∠MON= 52°,试求∠AOB的度数.
答案：
(1)∠COD=∠AOB,理由:
∵∠AOB与∠AOC互补,
∴∠AOB+∠AOC=180°,
∵∠COD+∠AOC=180°,
∴∠COD=∠AOB.
同角的补角相等
(2)
∵∠AOB与∠AOC互补,∠AOB=150°,
∴∠AOC=180°−150°=30°.
∵ON为∠AOC的角平分线,
∴∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°.
∵OM为∠AOB的角平分线,∠AOB=150°,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°,
∴∠MON=∠AOM−∠AON=75°−15°=60°.
(3)
∵OM,ON分别为∠AOB,∠AOC的角平分线,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=52°,
∴∠AOB−∠AOC=104°,
∴∠AOC=∠AOB−104°.
∵∠AOB+∠AOC=180°,
∴2∠AOB=284°,
∴∠AOB=142°.
(1)∠COD=∠AOB,理由:
∵∠AOB与∠AOC互补,
∴∠AOB+∠AOC=180°,
∵∠COD+∠AOC=180°,
∴∠COD=∠AOB.
同角的补角相等
(2)
∵∠AOB与∠AOC互补,∠AOB=150°,
∴∠AOC=180°−150°=30°.
∵ON为∠AOC的角平分线,
∴∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°.
∵OM为∠AOB的角平分线,∠AOB=150°,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°,
∴∠MON=∠AOM−∠AON=75°−15°=60°.
(3)
∵OM,ON分别为∠AOB,∠AOC的角平分线,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=52°,
∴∠AOB−∠AOC=104°,
∴∠AOC=∠AOB−104°.
∵∠AOB+∠AOC=180°,
∴2∠AOB=284°,
∴∠AOB=142°.
3. 如图,直线AB与CD相交于点O,OC平分∠AOM,且∠AOM= 90°,射线ON在∠BOM内部.
(1)求∠AOD的度数；
(2)若∠BOC= 5∠NOB,求∠MON的度数.
(1)求∠AOD的度数；
(2)若∠BOC= 5∠NOB,求∠MON的度数.
答案：
(1)
∵OC平分∠AOM,且∠AOM=90°,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM=45°.
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOD=180°−∠AOC=135°.
(2)
∵∠AOD=∠BOC=135°,∠BOC=5∠NOB,
对顶角相等
∴∠NOB=$\frac{1}{5}$∠AOD=27°.
∵∠AOM=90°,
∴∠BOM=180°−90°=90°,
∴∠MON=∠BOM−∠NOB=63°.
(1)
∵OC平分∠AOM,且∠AOM=90°,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM=45°.
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOD=180°−∠AOC=135°.
(2)
∵∠AOD=∠BOC=135°,∠BOC=5∠NOB,
对顶角相等
∴∠NOB=$\frac{1}{5}$∠AOD=27°.
∵∠AOM=90°,
∴∠BOM=180°−90°=90°,
∴∠MON=∠BOM−∠NOB=63°.
4. 若∠AOC= 100°,∠BOC= 30°,OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线,求∠MON的度数.(自己画图,并写出解题过程)
答案：
当射线OC位于∠AOB内部时,如图
(1).
∵OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线,∠AOC=100°,∠BOC=30°,
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=50°,∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°,
∴∠MON=∠COM+∠CON=50°+15°=65°;
当射线OC位于∠AOB外部时,如图
(2),
∠MON=∠MOC−∠NOC=50°−15°=35°.
综上所述,∠MON的度数是65°或35°.
当射线OC位于∠AOB内部时,如图
(1).
∵OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线,∠AOC=100°,∠BOC=30°,
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=50°,∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°,
∴∠MON=∠COM+∠CON=50°+15°=65°;
当射线OC位于∠AOB外部时,如图
(2),
∠MON=∠MOC−∠NOC=50°−15°=35°.
综上所述,∠MON的度数是65°或35°.