25. 阅读材料：小兰在学习数轴时发现,若点M,N表示的数分别为-1,3,则线段MN的长度可以这样计算,$|-1-3|= 4或|3-(-1)|= 4$,那么当点M,N表示的数分别为m,n时,线段MN的长度可以表示为$|m-n|或|n-m|$. 请你参考小兰的发现,解决下面的问题.
在数轴上,点A,B,C分别表示数a,b,c,给出如下定义：若$|a-b|= 2|a-c|$,则称点B为点A,C的双倍绝对点.
(1)如图,$a= -1,c= 2$,点D,E,F在数轴上分别表示数-3,5,6,在这三个点中,点______是点A,C的双倍绝对点.
(2)点B为点A,C的双倍绝对点.
①当$a= -1,|a-c|= 2$时,求b的值；
②当$a= 3,|b-c|= 5$时,求c的值.
(1)
(2)①
②
在数轴上,点A,B,C分别表示数a,b,c,给出如下定义：若$|a-b|= 2|a-c|$,则称点B为点A,C的双倍绝对点.
(1)如图,$a= -1,c= 2$,点D,E,F在数轴上分别表示数-3,5,6,在这三个点中,点______是点A,C的双倍绝对点.
(2)点B为点A,C的双倍绝对点.
①当$a= -1,|a-c|= 2$时,求b的值；
②当$a= 3,|b-c|= 5$时,求c的值.
(1)
E
(2)①
-5或3
②
-2或$\frac{14}{3}$或8或$\frac{4}{3}$
答案：
(1)E [解析]$\because a=-1,c=2,$
$\therefore |-1-b|=2×|-1-2|,$
解得$b=5$或$b=-7,$
∴点E是点A,C的双倍绝对点.
(2)①$\because a=-1,|a-c|=2,$
$\therefore |-1-b|=2×2$,解得$b=-5$或$b=3,$
∴b的值为-5或3.
②$\because |b-c|=5,\therefore c=b+5$或$c=b-5.$
$\because a=3,\therefore |3-b|=2|3-c|.$
当$c=b+5$时,$|3-b|=2|3-b-5|,$
解得$b=-7$或$b=-\frac{1}{3},\therefore c=-2$或$c=\frac{14}{3};$
当$c=b-5$时,$|3-b|=2|3-b+5|,$
解得$b=13$或$b=\frac{19}{3},\therefore c=8$或$c=\frac{4}{3}.$
综上,c的值为-2或$\frac{14}{3}$或8或$\frac{4}{3}.$
(1)E [解析]$\because a=-1,c=2,$
$\therefore |-1-b|=2×|-1-2|,$
解得$b=5$或$b=-7,$
∴点E是点A,C的双倍绝对点.
(2)①$\because a=-1,|a-c|=2,$
$\therefore |-1-b|=2×2$,解得$b=-5$或$b=3,$
∴b的值为-5或3.
②$\because |b-c|=5,\therefore c=b+5$或$c=b-5.$
$\because a=3,\therefore |3-b|=2|3-c|.$
当$c=b+5$时,$|3-b|=2|3-b-5|,$
解得$b=-7$或$b=-\frac{1}{3},\therefore c=-2$或$c=\frac{14}{3};$
当$c=b-5$时,$|3-b|=2|3-b+5|,$
解得$b=13$或$b=\frac{19}{3},\therefore c=8$或$c=\frac{4}{3}.$
综上,c的值为-2或$\frac{14}{3}$或8或$\frac{4}{3}.$
26. 把一根小木棒放在数轴上,木棒左端点与点A重合,右端点与点B重合,数轴的单位长度为1cm,如图所示.
(1)若将木棒沿数轴向右移动,当木棒的左端点移动到点B处时,它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时,当它的右端点移动到点A处时,木棒左端点在数轴上对应的数为5,由此可得木棒的长为
(2)在(1)的条件下,已知点C表示的数为-2. 若木棒在移动过程中,当木棒的左端点与点C相距3 cm时,求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题. 某一天,小宇问爷爷的年龄,爷爷说：“我若是你现在那么大,你还要41年才出生；你若是我现在这么大,我就有124岁了,是世界级老寿星了,哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图,求出爷爷现在的年龄.
(1)若将木棒沿数轴向右移动,当木棒的左端点移动到点B处时,它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时,当它的右端点移动到点A处时,木棒左端点在数轴上对应的数为5,由此可得木棒的长为
5 cm
. 我们把这个模型记为“木棒模型”；(2)在(1)的条件下,已知点C表示的数为-2. 若木棒在移动过程中,当木棒的左端点与点C相距3 cm时,求木棒的右端点与点A的距离；
由题可知,点A所表示的数是5 + 5 = 10.∵木棒的左端点与点C相距3 cm,点C表示的数为-2,如图(1),当左端点在点C右侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为-2 + 3 = 1,右端点表示的数为1 + 5 = 6,故木棒的右端点与点A的距离为10 - 6 = 4(cm);如图(2),当左端点在点C左侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为-2 - 3 = -5,故木棒的右端点表示的数为-5 + 5 = 0,木棒的右端点与点A的距离为10 - 0 = 10(cm).∴木棒的右端点与点A的距离为4 cm或10 cm.
(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题. 某一天,小宇问爷爷的年龄,爷爷说：“我若是你现在那么大,你还要41年才出生；你若是我现在这么大,我就有124岁了,是世界级老寿星了,哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图,求出爷爷现在的年龄.
由图(3)可知,把小宇与爷爷的年龄差看作木棒AB,把爷爷是小宇现在年龄时看作当点B移动到点A时,此时点A所对应的数为-41,当点A移动到点B时,此时点B所对应的数为124,所以爷爷比小宇大[124 - (-41)]÷3 = 55(岁),所以爷爷的年龄为124 - 55 = 69(岁),故爷爷现在的年龄是69岁.
答案：
(1)5 cm [解析]由题图观察可知,三根木棒长是$20 - 5 = 15(cm)$,则此木棒长为$15÷3 = 5(cm).$
(2)由题可知,点A所表示的数是$5 + 5 = 10.$
∵木棒的左端点与点C相距3 cm,点C表示的数为-2,如图
(1),当左端点在点C右侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2 + 3 = 1$,右端点表示的数为$1 + 5 = 6$,故木棒的右端点与点A的距离为$10 - 6 = 4(cm);$
如图
(2),当左端点在点C左侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2 - 3 = -5$,故木棒的右端点表示的数为$-5 + 5 = 0$,木棒的右端点与点A的距离为$10 - 0 = 10(cm).$
∴木棒的右端点与点A的距离为4 cm或10 cm.
(3)由图
(3)可知,把小宇与爷爷的年龄差看作木棒AB,把爷爷是小宇现在年龄时看作当点B移动到点A时,此时点A所对应的数为-41,当点A移动到点B时,此时点B所对应的数为124,
所以爷爷比小宇大$[124 - (-41)]÷3 = 55$(岁),
所以爷爷的年龄为$124 - 55 = 69$(岁),
故爷爷现在的年龄是69岁.
(1)5 cm [解析]由题图观察可知,三根木棒长是$20 - 5 = 15(cm)$,则此木棒长为$15÷3 = 5(cm).$
(2)由题可知,点A所表示的数是$5 + 5 = 10.$
∵木棒的左端点与点C相距3 cm,点C表示的数为-2,如图
(1),当左端点在点C右侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2 + 3 = 1$,右端点表示的数为$1 + 5 = 6$,故木棒的右端点与点A的距离为$10 - 6 = 4(cm);$
如图
(2),当左端点在点C左侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2 - 3 = -5$,故木棒的右端点表示的数为$-5 + 5 = 0$,木棒的右端点与点A的距离为$10 - 0 = 10(cm).$
∴木棒的右端点与点A的距离为4 cm或10 cm.
(3)由图
(3)可知,把小宇与爷爷的年龄差看作木棒AB,把爷爷是小宇现在年龄时看作当点B移动到点A时,此时点A所对应的数为-41,当点A移动到点B时,此时点B所对应的数为124,
所以爷爷比小宇大$[124 - (-41)]÷3 = 55$(岁),
所以爷爷的年龄为$124 - 55 = 69$(岁),
故爷爷现在的年龄是69岁.