22. 已知点O为直线AB上的一点,$\angle BOC = \angle DOE= 90^\circ$.
(1)如图(1),当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时,请回答结论并说明理由.
①$\angle COD和\angle BOE$相等吗？
②$\angle BOD和\angle COE$有什么关系？
(2)如图(2),当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时,请直接回答.
①$\angle COD和\angle BOE$相等吗？
②第(1)题中的$\angle BOD和\angle COE$的关系还成立吗？
(1)如图(1),当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时,请回答结论并说明理由.
①$\angle COD和\angle BOE$相等吗？
②$\angle BOD和\angle COE$有什么关系？
(2)如图(2),当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时,请直接回答.
①$\angle COD和\angle BOE$相等吗？
②第(1)题中的$\angle BOD和\angle COE$的关系还成立吗？
答案：
(1)①∠COD = ∠BOE.理由如下:
∵∠BOC = ∠DOE = 90°,
∴∠BOC + ∠BOD = ∠DOE + ∠BOD,即∠COD = ∠BOE.②∠BOD + ∠COE = 180°,理由如下:
∵∠AOC + ∠BOC = 180°,∠BOC = 90°,
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°.
∵∠DOE = 90°,∠AOE + ∠DOE + ∠BOD = ∠AOB = 180°,
∴∠BOD + ∠AOE = 180° - 90° = 90°,
∴∠BOD + ∠COE = ∠BOD + ∠AOE + ∠AOC = 90° + 90° = 180°.
(2)①∠COD = ∠BOE.理由如下:
∵∠COD + ∠BOD = ∠BOC = 90° = ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE,
∴∠COD = ∠BOE.②∠BOD + ∠COE = 180°成立.理由如下:
∵∠DOE = ∠BOC = 90°,
∴∠COD + ∠BOD = ∠BOE + ∠BOD = 90°.
∴∠BOD + ∠COE = ∠BOD + ∠COD + ∠BOE + ∠BOD = ∠BOC + ∠DOE = 90° + 90° = 180°.因此
(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立
(1)①∠COD = ∠BOE.理由如下:
∵∠BOC = ∠DOE = 90°,
∴∠BOC + ∠BOD = ∠DOE + ∠BOD,即∠COD = ∠BOE.②∠BOD + ∠COE = 180°,理由如下:
∵∠AOC + ∠BOC = 180°,∠BOC = 90°,
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°.
∵∠DOE = 90°,∠AOE + ∠DOE + ∠BOD = ∠AOB = 180°,
∴∠BOD + ∠AOE = 180° - 90° = 90°,
∴∠BOD + ∠COE = ∠BOD + ∠AOE + ∠AOC = 90° + 90° = 180°.
(2)①∠COD = ∠BOE.理由如下:
∵∠COD + ∠BOD = ∠BOC = 90° = ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE,
∴∠COD = ∠BOE.②∠BOD + ∠COE = 180°成立.理由如下:
∵∠DOE = ∠BOC = 90°,
∴∠COD + ∠BOD = ∠BOE + ∠BOD = 90°.
∴∠BOD + ∠COE = ∠BOD + ∠COD + ∠BOE + ∠BOD = ∠BOC + ∠DOE = 90° + 90° = 180°.因此
(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立
23. 分类讨论思想 (2025·扬州仪征期末)如图,点C为线段AD上一点,点B为CD的中点,且$AD= 13.5\ cm$,$BC= 3\ cm$.
(1)图中共有______条线段；
(2)求AC的长；
(3)若点E在直线AD上,且$EA= 4\ cm$,求BE的长.
(1)图中共有______条线段；
(2)求AC的长；
(3)若点E在直线AD上,且$EA= 4\ cm$,求BE的长.
答案：
(1)6 [解析]题图中共有6条线段,分别是AC,AB,AD,CB,CD,BD.
(2)
∵点B为CD的中点,BC = 3cm,
∴CD = 2BC = 6(cm).
∵AD = 13.5cm,
∴AC = AD - CD = 13.5 - 6 = 7.5(cm).
(3)分两种情况:当点E在线段CA的延长线上时,如图
(1):
∵EA = 4cm,AC = 7.5cm,BC = 3cm,
∴BE = AE + AC + BC = 14.5(cm);当点E在线段AC上时,如图
(2):
∵EA = 4cm,AC = 7.5cm,
∴CE = AC - AE = 7.5 - 4 = 3.5(cm).
∵BC = 3cm,
∴BE = CE + BC = 3.5 + 3 = 6.5(cm).综上所述,BE的长为14.5cm或6.5cm.
(1)6 [解析]题图中共有6条线段,分别是AC,AB,AD,CB,CD,BD.
(2)
∵点B为CD的中点,BC = 3cm,
∴CD = 2BC = 6(cm).
∵AD = 13.5cm,
∴AC = AD - CD = 13.5 - 6 = 7.5(cm).
(3)分两种情况:当点E在线段CA的延长线上时,如图
(1):
∵EA = 4cm,AC = 7.5cm,BC = 3cm,
∴BE = AE + AC + BC = 14.5(cm);当点E在线段AC上时,如图
(2):
∵EA = 4cm,AC = 7.5cm,
∴CE = AC - AE = 7.5 - 4 = 3.5(cm).
∵BC = 3cm,
∴BE = CE + BC = 3.5 + 3 = 6.5(cm).综上所述,BE的长为14.5cm或6.5cm.
24. 动角模型 中考新考法 新定义问题 如图(1),射线OP在$\angle AOB$的内部($\angle AOB的度数大于0^\circ且小于180^\circ$),图中共有三个角：$\angle AOP$,$\angle POB$,$\angle AOB$.若这三个角中有两个角的度数之比为3:1,则称射线OP为$\angle AOB$的“虚学线”.
(1)$\angle AOB$的平分线______$\angle AOB$的“虚学线”,$\angle AOB$的一条三等分线______$\angle AOB$的“虚学线”；(填“是”或“不是”)
(2)射线OP为$\angle AOB$的“虚学线”,若$\angle AOP= 30^\circ$,求$\angle AOB$的度数；
(3)已知$\angle AOB= 160^\circ$,射线OC从OA出发,绕O点以每秒$15^\circ$按顺时针方向旋转,射线OD从OB出发,绕O点以每秒$10^\circ$按逆时针方向旋转,两条射线同时旋转,当射线OC与OB重合时,旋转停止.设旋转时间为t秒,射线OE为$\angle COD$的平分线,射线OA,OD,OE中,若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”,直接写出所有t的值.
(1)$\angle AOB$的平分线______$\angle AOB$的“虚学线”,$\angle AOB$的一条三等分线______$\angle AOB$的“虚学线”；(填“是”或“不是”)
(2)射线OP为$\angle AOB$的“虚学线”,若$\angle AOP= 30^\circ$,求$\angle AOB$的度数；
(3)已知$\angle AOB= 160^\circ$,射线OC从OA出发,绕O点以每秒$15^\circ$按顺时针方向旋转,射线OD从OB出发,绕O点以每秒$10^\circ$按逆时针方向旋转,两条射线同时旋转,当射线OC与OB重合时,旋转停止.设旋转时间为t秒,射线OE为$\angle COD$的平分线,射线OA,OD,OE中,若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”,直接写出所有t的值.
答案：
(1)不是 是
(2)由一个角的“虚学线”的定义可知,当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠AOB或∠AOP = $\frac{2}{3}$∠AOB或∠AOP = $\frac{1}{3}$∠BOP或∠AOP = 3∠BOP时,射线OP是∠AOB的“虚学线”当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠AOB时,由∠AOP = 30°,得∠AOB = 3×30° = 90°;当∠AOP = $\frac{2}{3}$∠AOB时,由∠AOP = 30°,得∠AOB = $\frac{3}{2}$×30° = 45°;当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠BOP时,由∠AOP = 30°,得∠BOP = 3×30° = 90°,
∴∠AOB = 30° + 90° = 120°;当∠AOP = 3∠BOP时,得∠BOP = 10°,
∴∠AOB = 30° + 10° = 40°.综上所述,∠AOB的度数为45°或90°或120°或40°.
(3)由题意,得∠AOC = 15t°,∠BOD = 10t°,当OC与OD重合前,旋转的时间t秒的取值范围为0 ≤ t ＜ $\frac{160}{15 + 10}$,即0 ≤ t ＜ 6.4,如图
(1),
∵OE平分∠COD,
∴∠COE = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{1}{2}$(160 - 10t - 15t)° = ($\frac{160 - 25t}{2}$)°.由于∠AOE ＞ ∠DOE,则当∠AOE = 2∠DOE或∠AOE = 3∠DOE时,射线OE是∠AOD的“虚学线”,即15t + $\frac{160 - 25t}{2}$ = $\frac{160 - 25t}{2}$×2或15t + $\frac{160 - 25t}{2}$ = $\frac{160 - 25t}{2}$×3,解得t = $\frac{32}{11}$或t = 4;
当OC与OD重合后，旋转的时间t秒的取值范围为6.4 ＜ t ≤ $\frac{160}{15}$,即6.4 ＜ t ≤ $\frac{32}{3}$,如图
(2).
∵OE平分∠COD,
∴∠COE = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{1}{2}$(10t + 15t - 160)° = ($\frac{25t - 160}{2}$)°.当∠AOD = 2∠DOE或∠AOD = 3∠DOE时,射线OD是∠AOE的“虚学线”,即160 - 10t = 2×$\frac{25t - 160}{2}$或160 - 10t = 3×$\frac{25t - 160}{2}$,解得t = $\frac{64}{7}$或t = $\frac{160}{19}$;当2∠AOD = ∠DOE或3∠AOD = ∠DOE时,射线OD是∠AOE的“虚学线”,即2(160 - 10t) = $\frac{25t - 160}{2}$或3(160 - 10t) = $\frac{25t - 160}{2}$,解得t = $\frac{160}{13}$ ＞ $\frac{160}{15}$(舍去)或t = $\frac{224}{17}$ ＞ $\frac{160}{15}$(舍去),综上所述,当射线OA,OD,OE中的一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”时，t的值为$\frac{32}{11}$或4或$\frac{64}{7}$或$\frac{160}{19}$.
(1)不是 是
(2)由一个角的“虚学线”的定义可知,当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠AOB或∠AOP = $\frac{2}{3}$∠AOB或∠AOP = $\frac{1}{3}$∠BOP或∠AOP = 3∠BOP时,射线OP是∠AOB的“虚学线”当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠AOB时,由∠AOP = 30°,得∠AOB = 3×30° = 90°;当∠AOP = $\frac{2}{3}$∠AOB时,由∠AOP = 30°,得∠AOB = $\frac{3}{2}$×30° = 45°;当∠AOP = $\frac{1}{3}$∠BOP时,由∠AOP = 30°,得∠BOP = 3×30° = 90°,
∴∠AOB = 30° + 90° = 120°;当∠AOP = 3∠BOP时,得∠BOP = 10°,
∴∠AOB = 30° + 10° = 40°.综上所述,∠AOB的度数为45°或90°或120°或40°.
(3)由题意,得∠AOC = 15t°,∠BOD = 10t°,当OC与OD重合前,旋转的时间t秒的取值范围为0 ≤ t ＜ $\frac{160}{15 + 10}$,即0 ≤ t ＜ 6.4,如图
(1),
∵OE平分∠COD,
∴∠COE = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{1}{2}$(160 - 10t - 15t)° = ($\frac{160 - 25t}{2}$)°.由于∠AOE ＞ ∠DOE,则当∠AOE = 2∠DOE或∠AOE = 3∠DOE时,射线OE是∠AOD的“虚学线”,即15t + $\frac{160 - 25t}{2}$ = $\frac{160 - 25t}{2}$×2或15t + $\frac{160 - 25t}{2}$ = $\frac{160 - 25t}{2}$×3,解得t = $\frac{32}{11}$或t = 4;
当OC与OD重合后，旋转的时间t秒的取值范围为6.4 ＜ t ≤ $\frac{160}{15}$,即6.4 ＜ t ≤ $\frac{32}{3}$,如图(2).
∵OE平分∠COD,
∴∠COE = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{1}{2}$(10t + 15t - 160)° = ($\frac{25t - 160}{2}$)°.当∠AOD = 2∠DOE或∠AOD = 3∠DOE时,射线OD是∠AOE的“虚学线”,即160 - 10t = 2×$\frac{25t - 160}{2}$或160 - 10t = 3×$\frac{25t - 160}{2}$,解得t = $\frac{64}{7}$或t = $\frac{160}{19}$;当2∠AOD = ∠DOE或3∠AOD = ∠DOE时,射线OD是∠AOE的“虚学线”,即2(160 - 10t) = $\frac{25t - 160}{2}$或3(160 - 10t) = $\frac{25t - 160}{2}$,解得t = $\frac{160}{13}$ ＞ $\frac{160}{15}$(舍去)或t = $\frac{224}{17}$ ＞ $\frac{160}{15}$(舍去),综上所述,当射线OA,OD,OE中的一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”时，t的值为$\frac{32}{11}$或4或$\frac{64}{7}$或$\frac{160}{19}$.