9.中考新考法新定义运算(2025.淮安期末)定义:对于
“☆"运算,若a☆b= (一b)☆(一a),则称“☆”运算满足“反换律”.例如:α×b= (-b)×(一a),故乘法运算满足“反换律”.
(1)下列运算满足“反换律”的是______.(填序号)
①加法;②减法;③除法.
(2)规定“±"运算:a十$b= a^2+b^22-3ab.$
①若a= 1,b= -2,则a±b= ______;
②请你判断“”运算是否满足“反换律”,并说明理由.
延伸探究提优挑战自我,激发创新
“☆"运算,若a☆b= (一b)☆(一a),则称“☆”运算满足“反换律”.例如:α×b= (-b)×(一a),故乘法运算满足“反换律”.
(1)下列运算满足“反换律”的是______.(填序号)
②
①加法;②减法;③除法.
(2)规定“±"运算:a十$b= a^2+b^22-3ab.$
①若a= 1,b= -2,则a±b= ______;
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②请你判断“”运算是否满足“反换律”,并说明理由.
满足. 理由如下:∵a⊕b=a²+b²-3ab,∴(-b)⊕(-a)=(-b)²+(-a)²-3×(-b)×(-a)=a²+b²-3ab,∴a⊕b=(-b)⊕(-a),∴“⊕”运算满足“反换律”.
延伸探究提优挑战自我,激发创新
答案：
(1)② [解析]$\because a+b\neq -b+(-a)$,$\therefore$加法不满足"反换律";$\because a-b=-b-(-a)$,$\therefore$减法满足"反换律";$\because a÷ b\neq -b÷(-a)$,$\therefore$除法不满足"反换律". 故选②.
(2)①11 [解析]$a\oplus b=a^2+b^2-3ab=1^2+(-2)^2-3×1×(-2)=11$.②满足. 理由如下:$\because a\oplus b=a^2+b^2-3ab$,$\therefore (-b)\oplus(-a)=(-b)^2+(-a)^2-3×(-b)×(-a)=a^2+b^2-3ab$,$\therefore a\oplus b=(-b)\oplus(-a)$,$\therefore$"$\oplus$"运算满足"反换律".
(1)② [解析]$\because a+b\neq -b+(-a)$,$\therefore$加法不满足"反换律";$\because a-b=-b-(-a)$,$\therefore$减法满足"反换律";$\because a÷ b\neq -b÷(-a)$,$\therefore$除法不满足"反换律". 故选②.
(2)①11 [解析]$a\oplus b=a^2+b^2-3ab=1^2+(-2)^2-3×1×(-2)=11$.②满足. 理由如下:$\because a\oplus b=a^2+b^2-3ab$,$\therefore (-b)\oplus(-a)=(-b)^2+(-a)^2-3×(-b)×(-a)=a^2+b^2-3ab$,$\therefore a\oplus b=(-b)\oplus(-a)$,$\therefore$"$\oplus$"运算满足"反换律".
10.分类讨论思想(2024.四川成都外国语学校期中)探究规律,完成相关题目.
定义“”运算:
例:①(+2)关$(+4)= +(2^2+4^2);$
②(-4)关$(-7)= [(-4)^2+(-7)^2];$
$ ③(--2)(+4)= -[(-2)^2+(+4)^2];$
④(+5)关$(-7)= -[(+5)^2+(-7)^2];$
⑤0关(-5)= (-5)关$0= (-5)^2;$
⑥0关$0= 0^2+0^2= 0;$
(+3)关0= 0关$(+3)= (+3)^2.$
(1)计算:①(-1)(-1)=
②(-1)×[0(-2)]=
(2)归纳￥运算的法则:两数进行运算时,
同号得
数的
特别地,0和任何数进行￥运算,或任何数和
0进行￥运算,结果等于这个数的
(3)是否存在整数m,n,使得(m-1)关(n+
2)= -2?若存在,求出m-n的值;若不存
在,说明理由.
定义“”运算:
例:①(+2)关$(+4)= +(2^2+4^2);$
②(-4)关$(-7)= [(-4)^2+(-7)^2];$
$ ③(--2)(+4)= -[(-2)^2+(+4)^2];$
④(+5)关$(-7)= -[(+5)^2+(-7)^2];$
⑤0关(-5)= (-5)关$0= (-5)^2;$
⑥0关$0= 0^2+0^2= 0;$
(+3)关0= 0关$(+3)= (+3)^2.$
(1)计算:①(-1)(-1)=
2
;②(-1)×[0(-2)]=
-17
.(2)归纳￥运算的法则:两数进行运算时,
同号得
正
,异号得负
,并把两数的
平方相加
.特别地,0和任何数进行￥运算,或任何数和
0进行￥运算,结果等于这个数的
平方
.(3)是否存在整数m,n,使得(m-1)关(n+
2)= -2?若存在,求出m-n的值;若不存
在,说明理由.
存在,理由如下:$\because (m-1)*(n+2)=-2$,$\therefore m-1＜0$或$n+2＜0$,即$-\left[(m-1)^2+(n+2)^2\right]=-2$,$\therefore (m-1)^2+(n+2)^2=2$.$\because m,n$是整数,$\therefore m=0,n=-1$或$m=2,n=-1$或$m=2,n=-3$或$m=0,n=-3$.①当$m=0,n=-1$时,$m-1＜0,n+2＞0$,符合题意,$\therefore m-n=0-(-1)=1$;②当$m=2,n=-1$时,$m-1＞0,n+2＞0$,不符合题意;③当$m=2,n=-3$时,$m-1＞0,n+2＜0$,符合题意,$\therefore m-n=2-(-3)=5$;④当$m=0,n=-3$时,$m-1＜0,n+2＜0$,不符合题意.综上所述,当$m=0,n=-1$时,$m-n=1$;当$m=2,n=-3$时,$m-n=5$.
答案：
(1)由题意,得①$(-1)*(-1)=\left[(-1)^2+(-1)^2\right]=2$.②$(-1)*[0*(-2)]=(-1)*(-2)^2=(-1)*(+4)=-\left[(-1)^2+(+4)^2\right]=-17$.
(2)正 负 平方相加 平方
(3)存在,理由如下:$\because (m-1)*(n+2)=-2$,$\therefore m-1＜0$或$n+2＜0$,即$-\left[(m-1)^2+(n+2)^2\right]=-2$,$\therefore (m-1)^2+(n+2)^2=2$.$\because m,n$是整数,$\therefore m=0,n=-1$或$m=2,n=-1$或$m=2,n=-3$或$m=0,n=-3$.①当$m=0,n=-1$时,$m-1＜0,n+2＞0$,符合题意,$\therefore m-n=0-(-1)=1$;②当$m=2,n=-1$时,$m-1＞0,n+2＞0$,不符合题意;③当$m=2,n=-3$时,$m-1＞0,n+2＜0$,符合题意,$\therefore m-n=2-(-3)=5$;④当$m=0,n=-3$时,$m-1＜0,n+2＜0$,不符合题意.综上所述,当$m=0,n=-1$时,$m-n=1$;当$m=2,n=-3$时,$m-n=5$.
(1)由题意,得①$(-1)*(-1)=\left[(-1)^2+(-1)^2\right]=2$.②$(-1)*[0*(-2)]=(-1)*(-2)^2=(-1)*(+4)=-\left[(-1)^2+(+4)^2\right]=-17$.
(2)正 负 平方相加 平方
(3)存在,理由如下:$\because (m-1)*(n+2)=-2$,$\therefore m-1＜0$或$n+2＜0$,即$-\left[(m-1)^2+(n+2)^2\right]=-2$,$\therefore (m-1)^2+(n+2)^2=2$.$\because m,n$是整数,$\therefore m=0,n=-1$或$m=2,n=-1$或$m=2,n=-3$或$m=0,n=-3$.①当$m=0,n=-1$时,$m-1＜0,n+2＞0$,符合题意,$\therefore m-n=0-(-1)=1$;②当$m=2,n=-1$时,$m-1＞0,n+2＞0$,不符合题意;③当$m=2,n=-3$时,$m-1＞0,n+2＜0$,符合题意,$\therefore m-n=2-(-3)=5$;④当$m=0,n=-3$时,$m-1＜0,n+2＜0$,不符合题意.综上所述,当$m=0,n=-1$时,$m-n=1$;当$m=2,n=-3$时,$m-n=5$.